Как я могу сосредоточить точки в областях более высокой кривизны?

Как я могу распределить точки по неявной поверхности, чтобы сконцентрировать их более плотно в областях более высокой кривизны?

Я рассмотрел случайное добавление точек и отклонение точек, которые не требуются, исходя из кривизны, но я хотел бы знать, существует ли лучший подход, обеспечивающий более равномерное распределение по областям аналогичной кривизны, в то же время давая более высокую плотность, требуемую в области кривизны.

Я специально использую эти точки для триангуляции поверхности и не хочу создавать больше треугольников, чем нужно для относительно плоских деталей.

Это будет применяться к фигурам с известной производной, чтобы можно было рассчитать кривизну в данной точке.

Это не должен быть подход в реальном времени.

Идея, которую я бы попытался применить, заключается в следующем: я делаю пример для кривой, но она должна быть простой для применения для поверхности.

Допустим, у нас есть кривая равномерно параметризованная. Допустим, параметр кривой . Ваша цель - выбрать точку, соответствующую значению , чтобы кривизна была высокой.s $\gamma$$s$$s$

Если вы получите величину кривизны , это тоже будет функцией . Итак, если вы нормализуете функцию, вы получите распределение вероятностей. Если вы получите интеграл от такого распределения, у вас будет накопительное распределение. Назовем эту накопительную функцию .с | с | C ( s $c$$s$$|c|$$C(s)$

Проблема выборки из распределения, заданного кумулятивной функцией, хорошо известна, поэтому, как после того, как вы выбрали набор значений , такое значение будет связано с интересующими точками.$s_0,s_1,\dots,s_n$

Применение этого метода к случаю поверхности должно быть прямым, поскольку в основном у вас есть двумерная кумулятивная функция распределения, но проблема выборки точно такая же.

Просто, чтобы дать некоторые подробности, это в основном выборка из распределения, учитывая, что накопительная функция включает в себя два этапа:

1. принять случайное значение в интервале , скажем,$[0,1]$$k$

2. решить уравнение .$C(s) = k$

Этот подход точный, конечно, он дорогой, но если вам нравится такой подход, вы можете работать над оптимизацией.

Хорошей отправной точкой является классическая статья « Использование частиц для выборки и контроля неявных поверхностей» , опубликованная в SIGGRAPH 1994.

Простое моделирование частиц, описанное в статье « Выборка неявных объектов с помощью физических систем частиц» ( Computers & Graphics , 1996) для кривых, работает и для поверхностей; см. Динамическую текстуру для неявных поверхностей для примеров.

Более свежий пример см. В разделе Отображение формы и тона для неявных поверхностей ( Computers & Graphics , 2011).

Следующий наивный подход, вероятно, не даст столь же хорошо распределенных точек, как те, которые дает Lhf , но он должен быть намного проще в реализации и в вычислительном отношении быстрее:

Для двух точек и обозначим через среднее расстояние, на которое вы хотите, чтобы точки со средней кривизной и имели, например, некоторую постоянную, умноженную на обратную величину средней кривизны и .у д ( х , у ) х у х $x$$y$$d(x,y)$$x$$y$$x$$y$

Теперь соберите свою коллекцию точек последовательно:$A$

1. Выберите случайную точку и добавьте две точки, так что все три точки образуют равносторонний треугольник с длиной ребра .д ( х , х $x$$d(x,x)$

2. Добавьте все точки к и отметьте их как соседние.$A$

3. Повторно делайте следующее, пока в больше не будет смежности :$A$

   1. Выберите две соседние точки и от . Отметьте их как несмежные.у $x$$y$$A$
   2. Рассмотрим точку которая имеет расстояние от обеих этих точек. Из двух возможных таких точек выберите ту, которая направлена ​​наружу от (это требует некоторой работы, но должно быть простым).d ( x , y ) $z$$d(x,y)$$A$

   3. Проверьте, находится ли ближе, чем к любой точке из которая все еще смежна с другой точкой.d ( x , y ) $z$$d(x,y)$$A$

      • если да, откажитесь.
      • если нет, знак и , а также и , как р дом и добавить к .z y z z $x$$z$$y$$z$$z$$A$

В конце должен быть набор точек, соответствующих вашим критериям. Вы только что создали триангуляцию, но она может быть патологической, и поэтому вам, вероятно, следует заново триангулировать точки.$A$