Можно ли превратить трехмерную матрицу вращения (4x4) в составные части (вращение, масштаб и т. Д.)?

Чтобы быть более конкретным, я работаю над приложением для iOS, и у меня есть CATransform3Dструктура (в основном массив преобразования 4x4).

Можно ли вывести все различные «операции», которые подразумевает эта матрица? Такие вещи, как вращение, масштаб и т.д.

transformations

— elsurudo
источник

Вы можете разложить матрицу на базовые преобразования: перемещение, масштабирование и вращение. Учитывая эту матрицу: $\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

M = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

\begin{matrix} s_{0} = ‖ (a_{00}, a_{10}, a_{20}) ‖ \\ s_{1} = ‖ (a_{01}, a_{11}, a_{21}) ‖ \\ s_{2} = ‖ (a_{02}, a_{12}, a_{22}) ‖ \end{matrix}

$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$

Теперь у вас есть шкала, вы можете избавиться от нее, используя подматрицу , соответствующую , умножив матрицу на обратную шкалу чтобы get $3\times 3$ $\mathbf{RS}$ $\mathbf{S}^{-1}$ $\mathbf{R}$

\begin{aligned} {(R S) S}^{- 1} & = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] {[\begin{matrix} s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & s_{2} \end{matrix}]}^{- 1} \\ = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 / s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / s_{2} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$

Таким образом ( ): $\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

R = [\begin{matrix} a_{00} / s_{0} & a_{01} / s_{1} & a_{02} / s_{2} \\ a_{10} / s_{0} & a_{11} / s_{1} & a_{12} / s_{2} \\ a_{20} / s_{0} & a_{21} / s_{1} & a_{22} / s_{2} \end{matrix}]

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$

Это окончательная матрица вращения. Вы можете в дальнейшем разложить его разными способами. Это довольно долго, но вы можете найти декомпозицию матрицы вращения .

Этот метод дает только эквивалентные значения в виде перевода, масштабирования и поворота (исходная матрица может быть результатом других типов преобразований). Могут возникнуть проблемы с точностью с плавающей точкой с углами поворота, если вы в дальнейшем будете использовать разложенные углы, ошибки округления могут накапливаться в вычислениях. Вам не следует использовать его, если вы сами не создали матрицу.

Если вы - тот, кто построил матрицу и хотел разложения, чтобы иметь возможность редактировать и отображать перевод, масштабирование и вращение по отдельности и независимо , вероятно, самое чистое, почему хранить компоненты , и в классе преобразования индивидуально как векторы (может быть кватернионом для вращения). Только когда вам нужна матрица преобразования, создайте матрицу из этих компонентов (матрицу можно кэшировать до тех пор, пока какой-либо компонент не будет изменен). $\mathbf{t}$ $\mathbf{s}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{TRS}$

— user5488
источник

Не могли бы вы уточнить, в чем проблемы с точностью с плавающей точкой? В этом методе я не вижу ничего такого, что могло бы вызвать проблемы с точностью, если масштаб действительно не экстремальный. Также стоит отметить, что этот метод может потерпеть неудачу, если матрица была составлена из последовательности матриц, которая включает в себя как неоднородные шкалы, так и повороты. В этом случае матрица не будет вращением, но будет включать некоторый сдвиг.

R

$\mathbf{R}$

— Натан Рид

Все числа с плавающей запятой имеют внутреннюю (ограниченную) ошибку. Каждый раз, когда вы выполняете операции, в частности сложение или вычитание, вы составляете ошибку, увеличивая величину границ. В алгоритме декомпозиции скрыты многие операции сложения (как при умножении матрицы, так и при вычислении величины масштаба) и квадратный корень (в масштабе). Дальнейшее разложение внесет дополнительную ошибку.

— Тимбо

@ Тимбо Здесь нет полного умножения матрицы, просто умножение столбцов матрицы на обратные шкалы. А величина вектора включает в себя добавление всех положительных величин, поэтому там нет катастрофической отмены; это не дает много относительной ошибки, AFAICT. Во всяком случае, автор пояснил, что речь идет о дальнейшем разложении матрицы вращения на углы Эйлера или тому подобное, что имеет больше смысла.

— Натан Рид

Спасибо - отличный ответ. Продолжение: чтобы вернуть исходную матрицу, я предполагаю, что нам нужно следовать определенному порядку операций, начиная с единичной матрицы. Будет ли этот заказ TRS?

— elsurudo