Что такое аффинные преобразования?

Что такое аффинные трансформации? Они применимы только к точкам или другим фигурам? Что это значит, что они могут быть «составлены»?

transformations affine-transformations

— Люзер Дрог
источник

Аффинное преобразование - это линейное преобразование + вектор перевода.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

Это может быть применено к отдельным точкам или к линиям или даже кривым Безье. Для линий это сохраняет свойство, что параллельные линии остаются параллельными. Для кривых Безье это сохраняет свойство выпуклой оболочки контрольных точек.

После умножения получается 2 уравнения для получения «преобразованной» пары координат $(x', y')$ из исходной пары $(x, y)$ и списка констант $(a, b, c, d, e, f)$ ,

x^{'} = a \cdot x + c \cdot y + e y^{'} = b \cdot x + d \cdot y + f

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

Удобно, что Линейное преобразование и Вектор Трансляции могут быть объединены в трехмерную матрицу, которая может работать над двумерными однородными координатами.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

Который дает те же 2 уравнения выше.

Очень удобно , что сами матрицы могут быть умножены вместе, чтобы получить третью матрицу (констант), которая выполняет то же преобразование, что и оригинал 2, выполняемый последовательно. Проще говоря, матричные умножения ассоциативны.

\begin{matrix} [\begin{matrix} x^{″} & y^{″} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} a \cdot x + c \cdot y + e & b \cdot x + d \cdot y + f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} g (a \cdot x + c \cdot y + e) + i (b \cdot x + d \cdot y + f) + k \\ h (a \cdot x + c \cdot y + e) + j (b \cdot x + d \cdot y + f) + m \\ 1 \end{matrix}]}^{T} \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a g + b i & a h + b j & 0 \\ c g + d i & c h + d j & 0 \\ e g + f i + k & e h + f j + m & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

В качестве альтернативы вы можете рассмотреть несколько основных типов преобразования и составить любое более сложное преобразование, комбинируя их (умножая их вместе).

Преобразование идентичности

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

пересчет

[\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

* Примечание: отражение может быть выполнено с параметрами масштабирования или . $(S_x, S_y) = (-1,1)$ $(1,-1)$

Перевод

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_{x} & T_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

Перекос х на у

[\begin{matrix} 1 & Q_{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Перекос y на x

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

вращение

[\begin{matrix} \cos θ & - s i n θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[Примечание. Я показал форму Matrix, которая принимает вектор строки слева . Транспонирование этих матриц будет работать с вектором столбца справа.]

Матрица, составленная исключительно из масштабирования, вращения и перемещения, может быть разложена обратно на эти три компонента .

— Люзер Дрог
источник

Отличный ответ. Вы можете добавить, что одним из способов думать об аффинных преобразованиях является то, что они держат параллельные линии параллельно. Следовательно, масштабирование, вращение, перемещение, сдвиг и комбинации считаются аффинными. Перспективная проекция является примером неаффинного преобразования.

— ap_

Вы можете добавить несколько фотографий. Если вы этого не сделаете, я буду: P Также было бы хорошо упомянуть порядок в матрице и ориентация строки / столбца является произвольной. И то, что вращения в 3d не коммутативны.

— Joojaa

@joojaa Я сделал фотографии! источники постскриптума

— luser droog

Также стоит упомянуть, что преобразования твердого тела являются подмножеством аффинных преобразований, а аффинные преобразования являются подмножеством перспективных преобразований.

— user1118321

Я продолжаю перечитывать это время от времени, и я не могу точно сказать, но я мог бы неправильно описать перекос преобразований. Перегибы сбивают с толку. Если кто-то видит это и хочет попробовать редактирование, помогите прояснить эту часть!

— Луер Дрог