Итак, предположим, что у меня есть некоторая выпуклая гладкая и незамкнутая поверхность. Я перемещаю каждую его точку в нормальном направлении на некоторый постоянный коэффициент (этот коэффициент одинаков для всех точек на поверхности).
Могу ли я заменить эту операцию на равномерное или неоднородное масштабирование + перевод?
Будут ли получающиеся поверхности математически идентичны в этих случаях?
Например, я хочу преобразовать эту поверхность (вид сбоку):
Ответы:
Нет, это не может быть смоделировано (неравномерным) масштабированием. Довольно легко построить контрпример:
Проблема в том, что величина сечения кривой / поверхности зависит от ее кривизны, а не от ее ориентации в пространстве. Обратите внимание, что круговая дуга растет равномерно во всех направлениях (в раза ), тогда как длина горизонтальных сегментов остается неизменной при длине .
Конечно, если ваша поверхность не только выпуклая, но и имеет постоянную кривизну, то это просто круговая дуга, а для кругов ваше преобразование эквивалентно равномерному масштабированию. Возможно, вы также можете построить кривые различной кривизны, где ваше преобразование соответствует неравномерному масштабированию, но для общих выпуклых поверхностей это не так.