Нужен авторитетный источник для формулы по форме горизонта Земли

Что я прошу

Я подчеркиваю, что я не прошу формулу - я знаю формулу и как ее получить. Несколько разных его версий воспроизведены в конце поста. На самом деле, кто-то еще не только вывел его, но и представил один из выводов здесь .

Мне нужен авторитетный источник формулы, чтобы, например, можно было поместить ее в Википедию, не нарушая запрет на публикацию оригинальных исследований. [Люди на самом деле пытались ... Но в соответствующей статье есть какой-то очень добросовестный редактор, который удалил этот раздел на том основании, что он является оригинальным исследованием ... и, к сожалению, редактор правильный, поэтому нет смысла пытаться бороться с этим.]

Причина, по которой я выкладываю в компьютерную графику

Поскольку кто-то здесь мог смоделировать то, как Земля выглядит на орбите, возможно, он или она могли бы знать, опубликована ли эта формула (или, скорее, ее обобщение) в какой-либо книге, журнале, на конференции или в заметках класса , и т.д.

Я сделал "должный поиск в Google"

Пожалуйста, поймите, что я никого не прошу искать ответ от моего имени. Я уже много гуглил и публикую здесь только в крайнем случае. Моя (надуманная) надежда состоит в том, что кто-то здесь просто узнает ссылку сразу же; если нет ... ну, я надеюсь, что, по крайней мере, вам понравилась красивая картинка ниже (если я сам так скажу, с полным осознанием я общаюсь с людьми, интересующимися компьютерной графикой всех вещей), прежде чем вы перейдете к большему и лучшему вещи.

Два источника, которые близко

1. DK Lynch, «Визуально распознавая кривизну Земли», Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Это свободно доступно здесь . К сожалению, вместо того, чтобы сделать это правильно (что не так сложно), автор выбрал хак, который (а) я не совсем понимаю, и (б) который не согласен с тем, что я знаю, чтобы быть правильная формула.

2. Р. Хартли и А. Циссерман, Геометрия с несколькими взглядами в компьютерном зрении, 2-е изд. (Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, 2004). В разделе 8.3 «Действие проекционной камеры на квадрики» читаем :

Предположим, что квадрика является сферой, тогда конус лучей между центром камеры и квадрикой является прямоугольным, т. Е. Генератор контура представляет собой круг, плоскость которого ортогональна линии, соединяющей камеру и центры сфер. Это видно из симметрии вращения геометрии вокруг этой линии. Изображение сферы получается путем пересечения конуса с плоскостью изображения. Ясно, что это классическое коническое сечение, так что видимый контур сферы является коническим.

В принципе, это было бы именно то, что нужно, если бы была включена только немного больше информации - по крайней мере, выражение для эксцентриситета коники как функции расстояния до сферы и радиуса сферы (в случае когда плоскость изображения перпендикулярна образующей конуса, как в случае, когда камера-обскура направлена ​​в точку на горизонте).

Подробно о формуле, по которой мне нужна научная ссылка

Мы предполагаем совершенно сферическую, совершенно гладкую Землю без атмосферы. Мы указываем идеализированную камеру-обскуру на горизонт и, используя прямую центральную проекцию, вычисляем форму изображения горизонта на задней панели камеры (то есть форму, которую она будет иметь на пленке - «плоскость пленки») , Вот графика (сделанная в Asymptote , для тех, кто заинтересован), которая должна прояснить это:

Как мы видели выше, изображение горизонта является частью конического сечения. Пусть - эксцентриситет коники; В выводе, о котором я упоминал выше, вместо этого используется параметр k , который представляет собой только обратный эксцентриситет: k = 1 / ε . Сам эксцентриситет дается как ε = $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , гдеε=ч/Rпредставляет собой отношение высоты кчна прокол над поверхностью Земли и радиусом ЗемлиR. [Вместо использованияϵ, которое представляет собой отношениевысотыкR, может быть полезно использоватьη, отношениерасстояния крошечного отверстия к центру Земли,h+R, к радиусу Земли:η=(R+h$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . В терминах$\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$ имеем ε = 1 $\eta$ ]$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

Расстояние от точечного отверстия (точка на графике) до плоскости пленки принимается за единицу длины.$P$

оси х в плоскости пленки выбирается так, чтобы быть параллельной линии , соединяющей центр Земли C (не показан на рисунке) и точку на горизонте ( с маркировкой V в изображении) , в котором обучается камера. Этот выбор четко определен, потому что линия C V должна быть параллельна плоскости пленки. Причина этого заключается в том, что и C V, и плоскость пленки перпендикулярны линии визирования P V (линии, соединяющей P и V ). И это потому, что 1. линия P $y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$ касается Земли в , таким образом, перпендикулярно$V$ и 2. Р Vоси и лежит в плоскости пленки, а начало координат выбираютсякачестве проекции точки V .$CV$$PV$перпендикулярно к плоскости пленки , потому что камера обучается на . Х ось конечно , перпендикулярной к $V$$x$$y$$V$

С этими определениями в стороне, мы готовы записать представление конического сечения, которое является изображением горизонта Земли. Это можно записать разными способами, некоторые из которых приведены ниже. Что мне нужно, так это авторитетная ссылка на любую из этих формул или эквивалентную им формулу.

1. Явная формула, приведенная в вышеупомянутом выводе

Вывод, который я упомянул выше, дает это как окончательный вариант:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Давайте представим это несколькими дополнительными способами.

2. Выражение в терминах канонического уравнения конического сечения

В этом случае уравнение принимает следующий вид :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

$\mu=\varepsilon$ .

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$ .

$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Выражение в терминах «стандартной формы» конического сечения.

Эта форма, пожалуй, самая знакомая:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Он связан с параметрами, входящими в каноническое уравнение (см. 2. выше), следующим образом:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$в нашем случае).

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$ .

4. Выражение через параметрическую кривую

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Для того, как можно использовать эти формулы, посмотрите это .

В заключение...

Кто-нибудь видел приведенные выше формулы в каком-нибудь уважаемом источнике, возможно, в контексте моделирования того, как Земля выглядит из космоса? Если да, не могли бы вы дать мне знать, что это был за источник?

Благодарность!

Кривая, которую вы ищете, это просто пересечение плоскости (задней части камеры) и правого круглого конуса. Это на самом деле не вопрос о земле или взглядах на планеты из космоса; это просто простая трехмерная координатная геометрия. Чтобы найти ссылку, я бы порекомендовал поиск «пересечения плоскости и конуса» или «плоского сечения конуса» или «плоского сечения квадрики», что-то в этом роде.

Я ожидаю, что вы можете найти соответствующие формулы (и производные) в любом стандартном тексте по трехмерной координатной геометрии. Некоторые вероятные места:

• Лосось - трактат об аналитической геометрии трех измерений
• Сомервилл - Аналитическая геометрия трехмерных
• Снайдер и Сисам - Аналитическая геометрия пространства

Это все довольно старые книги, и у вас могут возникнуть проблемы с их поиском.

Вы также можете попробовать спросить на Math.StackExchange.

Называть вывод «оригинальным исследованием» мне кажется абсурдом. Это проблема домашней работы в средней школе по аналитической геометрии.