Как коррелированные выборки влияют на поведение рендерера Монте-Карло?

В большинстве описаний методов рендеринга Монте-Карло, таких как трассировка пути или двунаправленная трассировка, предполагается, что выборки генерируются независимо; то есть используется стандартный генератор случайных чисел, который генерирует поток независимых, равномерно распределенных чисел.

Мы знаем, что образцы, которые не выбраны независимо, могут быть полезны с точки зрения шума. Например, стратифицированные выборки и последовательности с низким расхождением являются двумя примерами коррелированных схем выборки, которые почти всегда улучшают время рендеринга.

Тем не менее, во многих случаях влияние корреляции выборки не столь отчетливо. Например, методы Марковской цепочки Монте-Карло, такие как Metropolis Light Transport, генерируют поток коррелированных выборок с использованием цепочки Маркова; методы многих источников света повторно используют небольшой набор путей света для многих путей камеры, создавая множество взаимосвязанных теневых соединений; даже фотонное картирование получает свою эффективность от повторного использования световых путей через много пикселей, также увеличивая выборочную корреляцию (хотя и смещенно).

Все эти методы рендеринга могут оказаться полезными в определенных сценах, но, кажется, ухудшают положение в других. Неясно, как количественно оценить качество ошибок, вносимых этими методами, кроме визуализации сцены с различными алгоритмами рендеринга и визуального анализа того, выглядит ли один лучше другого.

Итак, вопрос: как выборочная корреляция влияет на дисперсию и сходимость оценки Монте-Карло? Можем ли мы каким-то образом математически определить, какой тип выборочной корреляции лучше других? Существуют ли другие соображения, которые могут повлиять на то, является ли выборочная корреляция выгодной или вредной (например, ошибка восприятия, мерцание анимации)?

Есть одно важное различие, которое нужно сделать.

Методы Марковской цепочки Монте-Карло (такие как Metropolis Light Transport) полностью признают тот факт, что они производят много сильно коррелированных, это фактически основа алгоритма.

С другой стороны, существуют алгоритмы, такие как двунаправленная трассировка пути, метод много света, картирование фотонов, где решающую роль играет выборка по нескольким значениям и эвристика ее баланса. Оптимальность эвристического баланса доказана только для независимых выборок. Многие современные алгоритмы имеют коррелированные выборки, и для некоторых из них это вызывает проблемы, а для некоторых - нет.

Проблема с коррелированными выборками была признана в статье Вероятностные связи для двунаправленной трассировки пути . Где они изменили эвристику баланса, чтобы принять во внимание корреляцию. Посмотрите на рисунок 17 в документе, чтобы увидеть результат.

Я хотел бы отметить, что корреляция "всегда" плохая. Если вы можете позволить себе сделать новый образец, чем делать это. Но большую часть времени вы не можете себе этого позволить, поэтому вы надеетесь, что ошибка из-за корреляции мала.

Изменить, чтобы объяснить «всегда» : я имею в виду это в контексте интеграции MC

Где вы измеряете погрешность с дисперсией оценки

Если выборки независимы, то ковариационный член равен нулю. Коррелированные выборки всегда делают этот термин отличным от нуля, таким образом увеличивая дисперсию окончательной оценки.

Это на первый взгляд несколько противоречит тому, что мы сталкиваемся с стратифицированной выборкой, потому что стратификация снижает ошибку. Но вы не можете доказать, что стратифицированная выборка сходится к желаемому результату только с вероятностной точки зрения, потому что в основе стратифицированной выборки нет никакой вероятности.

И дело в стратифицированной выборке состоит в том, что это в основном не метод Монте-Карло. Стратифицированная выборка основана на стандартных квадратурных правилах численного интегрирования, которые отлично подходят для интегрирования гладкой функции в малые измерения. Именно поэтому он используется для обработки прямого освещения, которое является низкой одномерной задачей, но ее гладкость спорно.

Таким образом, стратифицированная выборка - все же другой вид корреляции, чем, например, корреляция во многих методах Light

Полусферическая функция интенсивности, то есть полусферическая функция падающего света, умноженная на BRDF, коррелирует с количеством образцов, необходимых на телесный угол. Возьмите пример распределения любого метода и сравните его с этой полусферической функцией. Чем больше они похожи, тем лучше метод в данном конкретном случае.

Обратите внимание, что, поскольку эта функция интенсивности обычно неизвестна , во всех этих методах используется эвристика. Если предположения эвристики соблюдены, распределение лучше (= ближе к желаемой функции), чем случайное распределение. Если нет, то хуже.

Например, выборка важности использует BRDF для распределения выборок, что является простым, но использует только часть функции интенсивности. Очень сильный источник света, освещающий диффузную поверхность под небольшим углом, получит мало образцов, хотя его влияние все еще может быть огромным. Metropolis Light Transport генерирует новые образцы из предыдущих с высокой интенсивностью, что хорошо для нескольких сильных источников света, но не помогает, если свет распространяется равномерно со всех сторон.