Почему для идеального отражения поверхность должна иметь непрерывность G2?

Почему для идеального отражения поверхность должна иметь непрерывность G2 (поверхность класса A)?

Я хотел бы получить математический ответ.

rendering

— Valerio
источник

Любой контекст? Или ссылка, где вы это прочитали? Потому что это не имеет смысла для меня. Кроме того, если я не ошибаюсь, непрерывность Gn определяется только для кусочно-полиномиальных поверхностей, нет оснований для того, чтобы поверхность была полиномиальной, и на практике большинство поверхностей кусочно-линейно.

— Том

В G2 просто упоминается геометрическая n-выводимость независимо от параметризации.

— Fabrice NEYRET

@tom Он говорит об общем дизайне Surfece, как в CAD. Нет, они не обязательно должны быть полиномами, но на практике они часто (за исключением дуг и

— конусов

@joojaa Чем я до сих пор озадачен, почему использую специальные обозначения Gn. В математике существует стандартное понятие дифференцируемого многообразия Cn. Так Gn и Cn одинаковы? Я думал, что коллектор Gn является кусочно-полиномиальным, поэтому это коллектор C-infty, за исключением патч-швов.

— Том

@tom C непрерывность - это параметрическая непрерывность, а G - геонетрическая непрерывность, и в этом случае непрерывность по двум отдельным геометриям.

— Joojaa

Ответы:

То, что вы видите, отражает n-непрерывность нормалей, которые являются производными позиций. -> поверхность G1-only будет иметь нормальное поле только G0, то есть, с внезапным изменением градиента в нормалях (и, следовательно, отражениях), которые могут заметить глаза. Поверхности G2 имеют поля нормалей G1, что достаточно гладко для ваших глаз.

— Fabrice NEYRET
источник

G0 Непрерывность означает, что отдельные поверхности встречаются,
G1 Непрерывность того, что поверхности встречаются под одним углом,
G2 Непрерывность означает, что изменение угла совпадает в точке контакта.

Требование G2 не означает, что поверхность хорошего качества. Это просто означает, что без этого поверхность не будет иметь непрерывного потока отражения, чтобы люди могли видеть разницу. Это может или не может быть хорошей вещью, зависит от того, что вы хотите.

Математически нормаль поверхности:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Поскольку обе стороны получены, это означает, что поле функции нормали поверхности имеет на один градус меньше исходной поверхности. Таким образом, чтобы отражение было непрерывным в первой степени, оно должно иметь непрерывность второй степени.

До сих пор мы установили связь между непрерывностью поверхности и непрерывностью отражения. Пока что ничто не доказывает, что поверхностное отражение должно быть непрерывным в первой степени. Чтобы понять, почему мы должны выйти из области математики и войти в область биологии.

Глаз снабжен алгоритмом обнаружения края на структурном уровне прямо на сетчатке. Этот алгоритм обнаружения фронта по сути работает как дискретная производная от входного сигнала. Таким образом, если ваша поверхность не является непрерывной G2, тогда обнаружение человеческого края начинает проявляться. Для справок читайте на Mach Bands и так далее.

Поскольку обнаружение края дискретно, непрерывности G2 недостаточно. Изменение должно быть не только локально удовлетворено, но и удовлетворено на сетчатке. Таким образом, изменения должны быть достаточно мелкими, чтобы не вызывать проблем.

— joojaa
источник

Что означает «изменение должно быть не только локально удовлетворено, но и удовлетворено на сетчатке»?

— Дэн Халм

Глаз не записывает непрерывный сигнал. Это дискретно, поэтому даже если ваша поверхность технически может соответствовать условию, представленному на математическом уровне. Этого может быть недостаточно, если расстояние между дискретными образцами не видно изменения. Таким образом, уклон все еще должен быть достаточно большим, чтобы человеческий глаз мог это заметить.

— Джуджаа

Похоже, вы говорите, что производная (от нормального) не должна быть просто непрерывной, а ее производная должна быть ниже некоторого предела. Если это то, что вы имеете в виду, я думаю, что последний абзац вашего ответа может быть яснее.

— Дэн Халм

@DanHulme - это не предел для производного, это не только вопрос наклона, но и внутренняя граница наклона. Так что речь идет о дискретной выборке. Таким образом, очень острый угол, но небольшая разница в уклоне может показаться непрерывной. Также постоянные изменения под короткой внутренней стенкой могут показаться резкими. Это не о математике, а о выборке. Его просто трудно определить как биологическую систему.

— Джуджаа