Предложение из теории чисел (для наших целей) представляет собой последовательность следующих символов:

• 0и '(преемник) - значит преемник +1, так0'''' = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4
• +(сложение) и *(умножение)
• = (равно)
• (и )(скобки)
• логический оператор nand( a nand bесть not (a and b))
• forall (универсальный квантификатор)

• v0, v1, v2, И т.д. (переменные)

  Вот пример предложения:

forall v1 (forall v2 (forall v3 (not (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3))))

Вот not xсокращение от x nand x- фактическое предложение будет использовать (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3) nand (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3), потому что x nand x = not (x and x) = not x.

Это говорит о том, что для каждой комбинации трех натуральных чисел v1, v2и v3, это не тот случай, когда v1 ³ + v2 ³ = v3 ³ (что было бы верно из-за последней теоремы Ферма, за исключением того факта, что она получит 0 ^ 3 + 0 ^ 3 = 0 ^ 3).

К сожалению, как доказал Гёдель, невозможно определить, является ли предложение в теории чисел верным.

Это является возможным, однако, если мы ограничиваем множество натуральных чисел для конечного множества.

Таким образом, эта задача состоит в том, чтобы определить, является ли предложение теории чисел верным, если принимать его по модулю n для некоторого положительного целого числа n. Например, предложение

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)

(утверждение, что для всех чисел х, х ³ = х)

Не относится к обычной арифметике (например , 2 ³ = 8 ≠ 2), но это верно , когда берется по модулю 3:

0 * 0 * 0 ≡ 0 (mod 3)
1 * 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
2 * 2 * 2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3)

Формат ввода и вывода

Входные данные представляют собой предложение и положительное целое число nв любом «разумном» формате. Вот несколько примеров разумных форматов предложения forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)в теории чисел по модулю 3:

("forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)", 3)
"3:forall v0 (((v0 * v0) * v0) = v0)"
"(forall v0)(((v0 * v0) * v0) = v0) mod 3" 
[3, "forall", "v0", "(", "(", "(", "v0", "*", "v0", ")", "*", "v0", ")", "=", "v0", ")"]
(3, [8, 9, 5, 5, 5, 9, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 4, 9, 6]) (the sentence above, but with each symbol replaced with a unique number)
"f v0 = * * v0 v0 v0 v0"
[3, ["forall", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]
"3.v0((v0 * (v0 * v0)) = v0)"

Входные данные могут быть из стандартного ввода, аргумента командной строки, файла и т. Д.

Программа может иметь любые два различных вывода для того, является ли предложение истинным или нет, например, это могло бы вывести, yesесли это верно, и noесли это не так.

Вам не нужно поддерживать одну переменную, являющуюся предметом forallдвойной переменной , например (forall v0 (v0 = 0)) nand (forall v0 (v0 = 0)). Вы можете предположить, что ваш ввод имеет правильный синтаксис.

Контрольные примеры

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 3
true

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 4
false (2 * 2 * 2 = 8 ≡ 0 mod 4)

forall v0 (v0 = 0) mod 1
true (all numbers are 0 modulo 1)

0 = 0 mod 8
true

0''' = 0 mod 3
true

0''' = 0 mod 4
false

forall v0 (v0' = v0') mod 1428374
true

forall v0 (v0 = 0) nand forall v1 (v1 = 0) mod 2
true (this is False nand False, which is true)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 7
true
(equivalent to "forall v0 (v0 =/= 0 implies exists v1 (v0 * v1 = 0)), which states that every number has a multiplicative inverse modulo n, which is only true if n is 1 or prime)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 4
false

Это код-гольф , поэтому постарайтесь сделать свою программу максимально короткой!

Python 2 , 252 236 байт

def g(n,s):
 if str(s)==s:return s.replace("'","+1")
 o,l,r=map(g,[n]*3,s);return['all((%s)for %s in range(%d))'%(r,l,n),'not((%s)*(%s))'%(l,r),'(%s)%%%d==(%s)%%%d'%(l,n,r,n),'(%s)%s(%s)'%(l,o,r)]['fn=+'.find(o)]
print eval(g(*input()))

Попробуйте онлайн!

Принимает ввод как вложенный префикс-синтаксис с fвместо forallи nвместо nand:

[3, ["f", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]

APL (Dyalog Unicode) , 129 байт ^SBCS

{x y z←3↑⍵⋄7≤x:y×7<x⋄5≡x:∧/∇¨y{⍵≡⍺⍺:⍵⍺⋄x y z←3↑⍵⋄7≤x:⍵⋄6≡x:x(⍺∇y)⋄x(⍺∇⍣(5≢x)⊢y)(⍺∇z)}∘z¨⍳⍺⍺⋄y←∇y⋄6≡x:1+y⋄y(⍎x⊃'+×⍲',⊂'0=⍺⍺|-')∇z}

Попробуйте онлайн!

Принимает синтаксическое дерево префикса, как в ответе Python от TFeld , но с использованием целочисленной кодировки. Кодировка

plus times nand eq forall succ zero ← 1 2 3 4 5 6 7

и каждой переменной присваивается номер, начинающийся с 8. Эта кодировка немного отличается от кодировки, использованной в приведенной ниже версии, поскольку я настраивал ее во время игры в коде.

Задача включает в себя только два ввода (AST и по модулю), но запись ее в качестве оператора вместо функции позволяет избежать упоминания по модулю много раз (так как это всегда переносится через рекурсивные вызовы).

Разгромленный с комментариями

⍝ node types; anything ≥8 will be considered a var
plus times eq nand forall succ zero var←⍳8
⍝ AST nodes have 1~3 length, 1st being the node type
⍝ zero → zero, succ → succ arg, var → var | var value (respectively)

⍝ to (from replace) AST → transform AST so that 'from' var has the value 'to' attached
replace←{
  ⍵≡⍺⍺:⍵⍺             ⍝ variable found, attach the value
  x y z←3↑⍵
  zero≤x: ⍵           ⍝ zero or different variable: keep as is
  succ≡x: x(⍺∇y)      ⍝ succ: propagate to y
  forall≡x: x y(⍺∇z)  ⍝ forall: propagate to z
  x(⍺∇y)(⍺∇z)         ⍝ plus, times, eq, nand: propagate to both args
}
⍝ (mod eval) AST → evaluate AST with the given modulo
eval←{
  x y z←3↑⍵
  zero≡x:   0
  var≤x:    y                    ⍝ return attached value
  forall≡x: ∧/∇¨y replace∘z¨⍳⍺⍺  ⍝ check all replacements for given var
  succ≡x:   1+∇y
  plus≡x:   (∇y)+∇z
  times≡x:  (∇y)×∇z
  eq≡x:     0=⍺⍺|(∇y)-∇z         ⍝ modulo equality
  nand≡x:   (∇y)⍲∇z              ⍝ nand symbol does nand operation
}

Попробуйте онлайн!