Вступление

Сегодня мы позаботимся о несчастье первокурсников по линейной алгебре: определенность матрицы! По-видимому, это еще не проблема, поэтому здесь мы идем:

вход

• A симметричная матрица в любом удобном формате (конечно, вы также можете взять только верхнюю или нижнюю часть матрицы)$n\times n$ A$A$
• Опционально: размер матрицы$n$

Что делать?

Задача проста: если задана вещественная матрица Matrix, решите, является ли она положительно определенной, путем вывода истинного значения, если это так, и значения Falsey, если нет.$n\times n$

Вы можете предположить, что ваши встроенные модули действительно работают точно и, следовательно, не должны учитывать числовые проблемы, которые могут привести к неправильному поведению, если стратегия / код «доказуемо» должны дать правильный результат.

Кто выигрывает?

Это код-гольф , поэтому выигрывает самый короткий код в байтах (на язык)!

---

Что такое положительно-определенная матрица?

Существует, по-видимому, 6 эквивалентных формулировок, когда симметричная матрица положительно определена. Я воспроизведу три более простых и отсылаю вас к Википедии для более сложных.

• Если то положительно определен. Это можно переформулировать следующим образом: если для каждого ненулевого вектора (стандартное) скалярное произведение числа и положительно, то положительно определено.$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$v v v$A$
  
  $v$$v$$Av$$A$
• Пусть быть собственные из , если сейчас (то есть все собственные значения положительны) тогда положительно определен. Если вы не знаете, что такое собственные значения, я предлагаю вам использовать ваш любимый поисковик, чтобы выяснить это, потому что объяснение (и необходимые стратегии вычислений) слишком длинны, чтобы содержаться в этом посте.$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$A ∀ i ∈ { 1 , … , n } : λ i > 0 A$A$$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$$A$
  
• Если существует разложение Холецкого группы , т. Е. Существует нижнетреугольная матрица такая, что то положительно определен. Обратите внимание, что это эквивалентно раннему возвращению «false», если в любой момент вычисление корня во время алгоритма завершается неудачей из-за отрицательного аргумента.$A$$L$$LL^T=A$$A$

Примеры

Для правдивого вывода

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Для вывода фальси

(по крайней мере одно собственное значение равно 0 / положительное полуопределено)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(собственные значения имеют разные знаки / неопределенные)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(все собственные значения меньше 0 / отрицательно определены)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(все собственные значения меньше 0 / отрицательно определены)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(все собственные значения меньше 0 / отрицательно определены)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(три положительных, одно отрицательное собственное значение / неопределенное)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C 108 байтов

-1 байт благодаря Logern
-3 байт благодаря floorcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

Попробуйте онлайн!

Выполняет исключение по Гауссу и проверяет, являются ли все диагональные элементы положительными (критерий Сильвестра). Аргумент n- это размер матрицы минус один.

MATLAB / Octave , 19 17 12 байт

@(A)eig(A)>0

Попробуйте онлайн!

Функция eig предоставляет собственные значения в порядке возрастания, поэтому, если первое собственное значение больше нуля, остальные тоже.

Желе , 11 10 байт

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Использует критерий Сильвестра .

Попробуйте онлайн!

Как это устроено

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 байт

function(m)all(eigen(m)$va>0)

Попробуйте онлайн!

---

Альтернатива с использованием cholesky:

R , 34 33 байта

function(m)is.array(try(chol(m)))

Попробуйте онлайн!

-1 байт благодаря @Giuseppe

Haskell , 56 байт

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

Попробуйте онлайн!

В основном порт Nwellnhof ответ . Выполняет исключение по Гауссу и проверяет, являются ли элементы на главной диагонали положительными.

Сбой первого вывода False из-за ошибок округления, но теоретически он будет работать с бесконечной точностью. Благодаря предложению Кертиса Бектела , теперь все результаты верны.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 байтов

0<Min@Eigenvalues@#&

Попробуйте онлайн!

MATL , 4 байта

Yv0>

Попробуйте онлайн!

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 байт

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Определение 2.

Юлия 1,0 , 28 байт

using LinearAlgebra
isposdef

Попробуйте онлайн!

---

Юлия 0,6,8 байта

isposdef

Попробуйте онлайн!

MATL , 6 байтов

Это можно сделать, используя еще меньше байтов, @Mr. Xcoder удалось найти 5-байтовый ответ MATL !

YvX<0>

объяснение

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

Попробуйте онлайн!

Клен , 33 байта

(т.е. мои 2 цента)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 байт

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

Попробуйте онлайн!