Как вы рассчитываете влияние прецессии на эллиптические орбиты?

Первый закон Кеплера гласит, что планеты (и все небесные тела, вращающиеся вокруг другого тела) движутся по эллиптическим орбитам, которые имеют хорошо известные формулы, которые позволяют относительно легко вычислять орбитальные элементы и связанное с ними поведение. Однако продолжающаяся прецессия означает, что орбита постоянно меняется - и поэтому планета на самом деле не движется в том эллипсе, на котором она изначально находилась! Вы можете рассчитать прецессию и связанные с ней эффекты ( этот вопрос и ответ полезны), но есть ли способ рассчитать, как эллиптическая орбита будет «деформирована» прецессией?

Хорошей отправной точкой будет <вставить имя ученого из давних времен> планетарных уравнений движения. Например, есть планетарные уравнения Лагранжа (иногда называемые планетарными уравнениями Лагранжа-Лапласа), планетарные уравнения Гаусса, планетарные уравнения Делоне, планетарные уравнения Хилла и некоторые другие. Общей темой среди этих различных планетарных уравнений является то, что они дают производные по времени различных орбитальных элементов как функцию частных производных возмущающей силы / возмущающего потенциала по некоторому обобщенному положению.

В общем, единственными словами, которые могут описать результат этого процесса на первый взгляд, является «горячий беспорядок». Горячий беспорядок не удерживал тех блестящих умов прошлого. С помощью различных упрощающих допущений и долгосрочного временного усреднения, они придумали довольно простые описания, например, (апсиды прецессии) и⟨d$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$(плоская прецессию). Некоторые из них вы можете увидеть в цитированной ниже работе Хилла 1900 года.$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Хотя эти методы старые, эти планетарные уравнения все еще используются сегодня. Иногда, когда у нас есть компьютеры, иногда возникает «горячий беспорядок». Люди используют планетарные уравнения в сочетании с методами геометрической интеграции, чтобы получить интеграторы, которые являются быстрыми, точными, стабильными и сохраняют момент импульса и энергию в течение длительных периодов времени. (Обычно у вас не может быть всего этого. Вам повезет, если вы получите только два или три.) Еще одна приятная особенность этих планетарных уравнений заключается в том, что они позволяют вам видеть такие особенности, как резонансы, которые в противном случае скрыты по-настоящему " Горячий беспорядок »декартовых уравнений движения.

Выбранный справочный материал, отсортированный по дате:

Hill (1900), «О распространении метода Делоне в лунной теории на общую проблему движения планет», Труды Американского математического общества , 1.2: 205-242.

Валладо (1997 г. и позднее), «Основы астродинамики и приложений», различные издательства. Если не считать дыру в вашем кошельке, вы не ошибетесь с этой книгой.

Ефроимский (2002), "Уравнения для элементов Кеплера: скрытая симметрия", Институт математики и его приложений

Efroimsky and Goldreich (2003), «Калибровочная симметрия задачи N-тела в подходе Гамильтона – Якоби». Журнал математической физики , 44.12: 5958-5977.

Уайетт (2006-2009), аспирантура по планетным системам, Институт астрономии, Кембридж.
Результаты уравнений Лагранжа представлены на слайде 6.

Ketchum et al. (2013), «Резонансы среднего движения в системах экзопланет: исследование поведения кивающего». Астрофизический журнал 762.2.

$-k/r$

Все остальное не эллиптическое (несвязанные орбиты являются параболическими или гиперболическими), но большинство отклонений невелики. Небольшие отклонения могут возникать из-за ряда источников, включая квадрупольные члены в распределении масс тел (в частности, Солнца), негравитационные силы (радиационное давление и газовое сопротивление на пылевые зерна), неньютоновские (ОТО) эффекты, возмущения от других объектов (всех других планет). Сам Ньютон прекрасно знал об этом последнем эффекте.

Если отклонения малы, то традиционным способом их оценки является теория возмущений , где интегрируется возмущающая сила вдоль невозмущенной (эллиптической) орбиты. Например, чтобы получить прецессию периапсиса, можно интегрировать изменения в вектор эксцентриситета. Вращение этого вектора соответствует прецессии периапсиса. Смотрите мой ответ на этот вопрос , для примера именно этого.

Дэвид Хаммен написал

Люди используют планетарные уравнения в сочетании с методами геометрической интеграции ...

Вы также можете попробовать (то, что я называю) простую симуляцию конечных шагов, использующую законы Ньютона для работы с массами объектов, позициями, скоростями и ускорениями. Я не уверен, относится ли это к тому, что Дэвид называет «методами геометрической интеграции». Я хочу сказать, что вы можете сделать это, не используя планетарные уравнения. Недостаток = симулятор «срезает углы», используя аппроксимации, и это приводит к поведению в модели, которые являются артефактами. Эти недостатки могут быть преодолены с помощью других методов. Преимущество = это облегчает разработку кода, позволяет избежать подозрений, что планетарные уравнения (и их предположения) являются движущей силой шоу.

$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$$\approx 11.9$ в зависимости от периодические колебания скорости прецессии года, вызванные движением Юпитера вокруг Солнца. Также очень весело (и очень легко после написания основного кода) играть «что если?» моделирование путем изменения количества и свойств тел в системе и даже путем добавления дополнительных неньютоновских сил.

Процитирую Феймнана: -

Может случиться так, что в одном цикле вычислений, в зависимости от проблемы, у нас может быть 30 умножений или что-то в этом роде, поэтому один цикл займет 300 микросекунд. Это означает, что мы можем выполнить 3000 циклов вычислений в секунду. Чтобы получить точность, скажем, одной части на миллиард, нам нужно 4 × 10 ^ 5 циклов, чтобы соответствовать одному обороту планеты вокруг Солнца. Это соответствует времени вычисления 130 секунд или около двух минут. Таким образом, для того, чтобы следовать Юпитеру вокруг Солнца, понадобится всего две минуты, и все возмущения всех планет с точностью до одной части на миллиард!

Но вы должны тщательно подумать о том, что вы можете надежно вывести из симуляций - например, если ваш временной шаг длиннее нескольких сотен секунд, симуляция укажет на прецессию в направлении, противоположном тому, которое действительно происходит (то есть ретроградно, когда оно должно быть програмировать).