Определяющее влияние малой переменной силы на прецессию планетарного перигелия

Существует ли аналитическая методика определения влияния небольшого переменного поперечного ускорения на скорость прецессии асидов (строго не прецессия, а вращение линии асидов) планеты, вращающейся вокруг Солнца в двумерной плоскости по ньютоновскому закону гравитации ?

Я смоделировал такие эффекты в повторяющейся компьютерной модели и хотел бы проверить эти измерения.

Формула поперечного ускорения

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Где:-

с - скорость света,

K является постоянной величиной между 0 и +/- 3, так что . $K/(c^2) << 1$

Ar - это ускорение планеты к Солнцу из-за ньютоновского гравитационного влияния Солнца ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr - радиальная составляющая скорости планеты относительно Солнца (+ = движение от Солнца)

Vt - поперечная составляющая скорости планеты относительно Солнца (+ = направление движения планеты вперед по ее орбитальному пути). По вектору Vt = V - Vr, где V - суммарный мгновенный вектор скорости планеты относительно Солнца.

Предположим, что масса планеты мала по отношению к Солнцу

Других тел в системе нет

Все движения и ускорения ограничены двумерной плоскостью орбиты.

ОБНОВИТЬ

Причина, по которой это интересно для меня, заключается в том, что значение K = +3 в моей компьютерной модели дает аномальные (неньютоновские) значения частоты вращения периапазиса, очень близкие в пределах примерно 1% от значений, предсказанных общей относительностью, и в пределах нескольких процентов от наблюдаемые астрономами (Le Verrier, обновлено Newcomb).

Формула (Эйнштейн, 1915) для вращающегося из-за GR вращения периапса (радианы на орбиту) из http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

ОБНОВЛЕНИЕ 4

Я принял ответ Уолтера. Он не только ответил на первоначальный вопрос (есть ли метод ...?), Но и в результате его анализа была получена формула, которая не только подтверждает компьютерные эффекты формулы поперечного ускорения (для K = 3), но также (неожиданно) для меня) по существу эквивалентен формуле Эйнштейна 1915 года.

из резюме Уолтера (в ответе Уолтера ниже): -

: (из анализа петурбации первого порядка) большая ось и эксцентриситет не изменились, но направление периапса вращается в плоскости орбиты со скоростью где является орбитальной частотой и с полу-большой осью. Обратите внимание, что (для ) это согласуется со скоростью прецессии общей теории относительности (GR) порядка (заданной Эйнштейном 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
источник

Вы все еще ищете ответ?

— Уолтер

@Walter. Да, я. Я задавал подобный вопрос по адресу физика.stackexchange.com/ questions/ 123685/…, но пока нет четкого ответа.

— SteveOw

@Walter. Я также спросил на math.stackexchange.com/questions/866836/… .

— steveOw

Да, существуют приближенные аналитические методы (теория возмущений), действительные в пределе . Возможно, вы можете немного прояснить свой вопрос. Каково направление поперечного ускорения (я понимаю, что «поперечный» означает перпендикуляр к мгновенной скорости, но не ясно, находится ли ускорение в плоскости орбиты или перпендикулярно или смеси).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Уолтер

Здесь есть разница между вашим вопросом и вопросом математики (и физики): здесь поперечное ускорение пропорционально радиальному ускорению, а - безразмерное число, там радиальное ускорение не влияет на поперечное ускорение, и должно быть ускорение (хотя вы говорите о «число»).

K

$K$

K

$K$

— Уолтер

Вы можете использовать теорию возмущений . Это дает только приблизительный ответ, но позволяет проводить аналитическое лечение. Ваша сила рассматривается как малое возмущение по кеплеровской эллиптической орбите и результирующие уравнения движения разложить по степеням . Для линейной теории возмущений сохраняются только линейные по члены . Это просто приводит к интегрированию возмущения вдоль невозмущенной исходной орбиты. Написание силы в качестве вектора, возмущающее ускорение с радиальная скорость ( ) и $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ вращательная составляющая скорости ( полная скорость минус лучевая скорость). Здесь точка выше обозначает производную по времени, а шляпа - единичный вектор.

Теперь все зависит от того, что вы имеете в виду под « эффектом ». Давайте разработаем изменения орбитальной большой полуоси , эксцентриситета и направления периапазы. $a$ $e$

Для того, чтобы суммировать результаты ниже : большой полуоси и эксцентриситета остаются неизменными, но направление periapse вращается в плоскости орбиты при скорости где является орбитальной частотой и с полу-большой осью. Обратите внимание, что (для ) это согласуется со скоростью прецессии общей теории относительности (GR) порядка (приведенной Эйнштейном 1915, но не упомянутой в первоначальном вопросе).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

изменение большой полуоси

Из соотношения (с орбитальной энергии) мы имеем для изменения из-за внешней (не кеплеровское) ускорение Вставка (обратите внимание, что с вектором углового момента ), мы получаем Поскольку среднее значение по орбите для любой функции (см. Ниже), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

изменение эксцентриситета

Из мы находим Мы уже знаем, что , поэтому нужно учитывать только первое слагаемое. Таким образом, где я использовал имя и факт $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Снова и, следовательно, .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

изменение направления периапсиса

Эксцентриситет вектор точки (от центра тяжести) в направлении periapse, имеет величину , и сохраняется в кеплеровском движении (подтвердите все это как упражнение!). Из этого определения мы находим его мгновенное изменение из-за внешнего ускорения $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ где я использовал идентификатор и факт . Средние значения орбиты этого выражения рассматриваются в приложении ниже. Если мы наконец соберем все вместе, мы получим с [ снова исправлено ] Это вращение периапса в плоскости орбиты с угловой частотой, Особенно

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ в соответствии с нашими предыдущими результатами.

Не забывайте, что благодаря нашему использованию теории возмущений первого порядка эти результаты строго верны только в пределе . Однако в теории возмущений второго порядка и и / или могут изменяться. В своих численных экспериментах, вы должны найти , что орбиту усредненных изменений и являются либо нулем , либо масштабироваться сильнее , чем линейное возмущение амплитуды . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

Отказ от ответственности Нет гарантии, что алгебра верна. Проверь это!

Приложение: средние значения орбиты

Средние значения орбиты с произвольной (но интегрируемой) функцией могут быть напрямую рассчитаны для любого типа периодической орбиты. Пусть - антипроизводное , т.е. , тогда среднее значение орбиты: с орбитальный период. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Для средних орбит, требуемых в , мы должны копать немного глубже. Для кеплеровской эллиптической орбиты с вектором эксцентриситета и вектор, перпендикулярный и . Здесь, - это эксцентричная аномалия, которая связана со средней аномалией через так что $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ и среднее значение по орбите становится Взяв производную по времени (заметьте, что орбитальная частота) , мы находим для мгновенной (невозмущенной) орбитальной скорости где я ввел , скорость круговой орбиты с большой полуосью . Отсюда находим лучевую скорость

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ и скорость вращения

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

С их помощью мы [ исправили еще раз ] в частности, компоненты в направлении усредняются до нуля. Таким образом [ снова исправлено ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Вальтер
источник

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перенесен в чат .

— call2voyage