Я не думаю, что вы найдете способ сделать это, поскольку VS должен порождать процесс браузера под своим контролем, чтобы он мог подключить его и позволить вам отлаживать. Таким образом, он также знает, когда вы закончите отладку (вы закрыли этот конкретный процесс браузера).
С другой стороны: Однажды я занимался серфингом в своем отладочном браузере, запущенном VS (отошел от проекта, который я отлаживал), и после того, как я некоторое время использовал его для поиска в Google, в конце концов, Google начал жаловаться: «Извините, но Ваш компьютер или сеть могут отправлять автоматические запросы. Чтобы защитить наших пользователей, мы не можем обработать ваш запрос прямо сейчас. " :)