chmod() системный вызов и, соответственно, chmod программа, не влияет на группу файлов или каталогов (или другой тип файла: специальный блок, специальный символ, сокет, ... символическая ссылка является чем-то особенным). Таким образом, группа, которой предоставлено разрешение, будет группой, к которой принадлежит файл или каталог.
Добавить группу rwx разрешения, вы должны использовать:
chmod -R g+rwx DirectoryName
Однако это добавляет разрешения для каждого файла, а также для каждого каталога, и не все файлы должны быть исполняемыми. Лично я был бы очень недоволен, если бы кто-то предоставил разрешение на групповую запись для всех (или любых) моих каталогов, но это уже другая история.
Чтобы влиять только на каталоги, используйте find вместо:
find DirectoryName -type d -exec chmod g+rwx {} +
(The + обозначение POSIX 2008; не все системы Unix поддерживают это, хотя Linux поддерживает.)