Интуитивное объяснение стационарности

Некоторое время я боролся со стационарностью в голове ... Ты так об этом думаешь? Любые комментарии или дальнейшие мысли будут оценены.

Стационарный процесс - это тот, который генерирует значения временных рядов, так что среднее значение распределения и дисперсия остаются постоянными. Строго говоря, это известно как слабая форма стационарности или ковариации / средней стационарности.

Слабая форма стационарности - это когда временной ряд имеет постоянное среднее значение и дисперсию во времени.

Проще говоря, практики говорят, что стационарный временной ряд - это тот, у которого нет тренда - он колеблется вокруг постоянного среднего и имеет постоянную дисперсию.

Ковариация между различными лагами постоянна, она не зависит от абсолютного местоположения во временных рядах. Например, ковариация между t и t-1 (лаг первого порядка) всегда должна быть одинаковой (для периода 1960-1970 гг. Такой же, как для периода 1965-1975 гг. Или любого другого периода).

В нестационарных процессах нет долгосрочного среднего значения, к которому возвращается серия; поэтому мы говорим, что нестационарные временные ряды не означают возврата. В этом случае дисперсия зависит от абсолютного положения во временном ряду, и с течением времени дисперсия уходит в бесконечность. Технически говоря, автокорреляции не затухают со временем, но в небольших выборках они исчезают - хотя и медленно.

В стационарных процессах шоки носят временный характер и со временем рассеиваются (теряют энергию). Через некоторое время они не влияют на новые значения временных рядов. Например, что-то, что произошло время назад (достаточно долго), такое как Вторая мировая война, оказало влияние, но, если временной ряд сегодня такой же, как если бы Вторая мировая война никогда не случалась, мы бы сказали, что шок потерял свою энергию или рассеялись. Стационарность особенно важна, так как многие классические эконометрические теории получены в предположениях стационарности.

Сильная форма стационарности - это когда распределение временного ряда точно такое же время впадины. Другими словами, распределение оригинальных временных рядов точно такое же, как и у лаговых временных рядов (с любым числом лагов) или даже на подсегментах временных рядов. Например, строгая форма также предполагает, что распределение должно быть одинаковым даже для подсегментов 1950–1960, 1960–1970 годов или даже для перекрывающихся периодов, таких как 1950–1960 и 1950–1980 годы. Эта форма стационарности называется сильной, потому что она не предполагает никакого распределения. Это только говорит, что распределение вероятностей должно быть таким же. В случае слабой стационарности мы определили распределение по его среднему значению и дисперсии. Мы могли бы сделать это упрощение, потому что неявно мы предполагали нормальное распределение, и нормальное распределение полностью определяется его средним значением и дисперсией или стандартным отклонением. Это не что иное, как утверждение, что мера вероятности последовательности (в пределах временного ряда) такая же, как и для отстающей / сдвинутой последовательности значений в пределах одного и того же временного ряда.

Прежде всего, важно отметить, что стационарность является свойством процесса, а не временного ряда. Вы рассматриваете ансамбль всех временных рядов, генерируемых процессом. Если статистические свойства этого ансамбля (среднее значение, дисперсия, ...) постоянны во времени, процесс называется стационарным. Строго говоря, невозможно сказать, был ли данный временной ряд сгенерирован стационарным процессом (однако, с некоторыми предположениями, мы можем сделать хорошее предположение).

Более интуитивно, стационарность означает, что для вашего процесса нет выделенных моментов времени (влияющих на статистические свойства вашего наблюдения). Применимо ли это к конкретному процессу, в решающей степени зависит от того, что вы считаете фиксированным или переменным для вашего процесса, то есть от того, что содержится в вашем ансамбле.

Типичной причиной нестационарности являются зависящие от времени параметры, которые позволяют различать временные точки по значениям параметров. Другой причиной являются фиксированные начальные условия.

Рассмотрим следующие примеры:

• Шум, достигающий моего дома от единственной машины, проезжающей в данное время , не является стационарным процессом. Например, средняя амплитуда² самая высокая, когда машина находится рядом с моим домом.

• Шум, достигающий моего дома от уличного движения в целом, является стационарным процессом, если мы игнорируем временную зависимость интенсивности движения (например, меньше трафика ночью или в выходные дни). Больше нет выдающихся моментов во времени. Хотя могут быть сильные колебания отдельных временных рядов, они исчезают, когда я рассматриваю ансамбль всех реализаций процесса.

• Если мы включим известные воздействия на интенсивность движения, например, то, что ночью будет меньше трафика, процесс снова будет нестационарным: средняя амплитуда² меняется в зависимости от суточного ритма. Каждый момент времени отличается временем суток.

• Положение одного перца в кастрюле с кипящей водой является стационарным процессом (игнорируя потерю воды из-за испарения). Там нет выдающихся моментов во времени.

• $t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  $t>T$$T$

^{Practical Для практических целей это иногда сводится к среднему значению и дисперсии (слабой стационарности), но я не считаю это полезным для понимания концепции. Просто игнорируйте слабую стационарность, пока не поймете стационарность.
² Это среднее значение громкости, но стандартное отклонение фактического звукового сигнала (не беспокойтесь об этом здесь).}

Для ясности я хотел бы добавить, что любой временной ряд, в котором точки данных обычно распределяются во времени с постоянным средним, а дисперсия считается сильным стационарным временным рядом, поскольку при среднем и стандартном отклонении нормальное распределение всегда будет иметь одну и ту же кривую распределения вероятности ( входы в нормальное уравнение зависят только от среднего значения и стандартного отклонения).

Это не относится к t-распределению, например, когда входом в уравнение t-распределения является гамма, которая влияет на форму кривой распределения, несмотря на постоянное среднее значение и постоянное стандартное отклонение.