MLE параметра местоположения в распределении Коши

После центрирования два измерения x и -x можно считать независимыми наблюдениями из распределения Коши с функцией плотности вероятности:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Покажите, что если MLE для равно 0, но если есть два MLE для , равные ± $x^2≤ 1$ $\theta$ $x^2>1$ $\theta$ $\sqrt {x^2-1}$

Я думаю, чтобы найти MLE, я должен дифференцировать логарифмическую вероятность:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ + $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Так,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

который я затем упростил до

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Теперь я врезался в стену. Возможно, в какой-то момент я ошибся, но в любом случае я не уверен, как ответить на вопрос. Кто-нибудь может помочь?

— user123965
источник

Пожалуйста, объясните, почему вы разбили x на -x и + x? Это моя домашняя работа, и я застреваю на этом этапе. Я полагаю, вы применили метод Рафсона Ньютона. Но я не понимаю, как это применить. Подскажите пожалуйста?

— user89929

В ваших расчетах есть математическая опечатка. Условие первого порядка для максимума:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

If $x^2\leq 1$ then the term in the parenthesis cannot be zero (for real solutions of course), so you are left only with the solution $\hat \theta =0$ .

If $x^2 >1$ you have $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ so, apart from the candidate point $\theta =0$ you also get

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0, for \hat{θ} = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

You also have to justify why in this case $\hat \theta =0$ is no longer an MLE.

ADDENDUM

For $x =\pm 0.5$ the graph of the log-likelihood is enter image description here

while for $x =\pm 1.5$ the graph of the log-likelihood is, enter image description here

Now all you have to do is to prove it algebraically and then wonder "fine -now which of the two should I choose?"

— Alecos Papadopoulos
источник

Thanks! I can't see why

θ = 0

$\theta=0$ would no longer be an MLE though

— user123965

Work the 2nd order condition for a maximum, or evaluate the likelihood at the candidate solutions

— Alecos Papadopoulos

+1 great answer. Also, this might be interesting: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— random_user

@random_user Thanks! - I took the liberty to incorporate the plot in the answer.

— Alecos Papadopoulos

2nd derivative positive so indeed a local minimum

— Alecos Papadopoulos