Распределение вероятностей функций случайных величин?

У меня есть сомнение: рассмотрим вещественные случайные величины и определенные в пространстве вероятностей . $X$ $Z$ $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Пусть , где - вещественная функция. Поскольку является функцией случайных величин, это случайная величина. $Y:= g(X,Z)$ $g(\cdot)$ $Y$

Пусть , т.е. реализацию . $x:=X(\omega)$ $X$

Является ли равным ? $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ $\mathbb{P}(g(x,Z))$

probability random-variable

— user3285148
источник

Поскольку ваша система обозначений , а сокращенно, может быть , стоит отметить, что она неявно относится к некоторым борелевского

A

$A$ , с учетом универсального квантора, и что более полный рендеринг вашего вопроса поэтому будет ли это тот случай, когда

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@whuber: ваше последнее равенство действительно только в том случае, если

X

$X$ и

Z

$Z$ независимы.

— Дзен

Хорошо, вы просто думаете, "так ли это ...".

— Дзен

Если измеримо, то $g$ выполняется для -aa . В частности, если не зависит от , то

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Z

$Z$

X

$X$

выполняется для

-aa

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Это зависит от следующего общего результата:

Если и являются случайными величинами и обозначает регулярную условную вероятность заданной , то есть , то $U,T$ $S$ $P_S(\cdot \mid T=t)$ $S$ $T=t$ $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$
$\begin{matrix} (*) & Е [U | T знак равно T] знак равно \int_{р} Е [U | T знак равно T, S знак равно s] п_{S} (d s | T знак равно T), \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

Доказательство : определение регулярной условной вероятности гарантирует, что

Е [ψ (S, T)] знак равно \int_{р} \int_{р} ψ (s, T) п_{S} (d s | T знак равно T) п_{T} (d T)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$

ψ

$\psi$

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$

B

$B$

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (В)} U d п & знак равно Е [1_{В} (T) U] знак равно Е [1_{В} (T) Е [U | S, T]] знак равно Е [ψ (S, T)] \\ знак равно \int_{р} \int_{р} ψ (s, T) п_{S} (d s | T знак равно T) п_{T} (d T) \\ знак равно \int_{В} φ (T) п_{T} (d T) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$

φ (T) знак равно \int_{р} Е [U | T знак равно T, S знак равно s] п_{S} (d s | T знак равно T),

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$

B

$B$

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$

$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ $S=Z$ $T=X$

Е [U | Икс знак равно Икс, Z знак равно Z] знак равно Е [ψ (Икс, Y) | Икс знак равно Икс, Z знак равно Z] знак равно ψ (Икс, Z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$

(*)

$(*)$

\begin{aligned} п (г (Икс, Z) \in A | Икс знак равно Икс) & знак равно Е [U | Икс знак равно Икс] знак равно \int_{р} ψ (Икс, Z) п_{Z} (d Z | Икс знак равно Икс) \\ знак равно п (г (Икс, Z) \in A | Икс знак равно Икс), \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— Стефан Хансен
источник