Распределение экстремальных значений

Если элемент соответствует нормальному распределению, среднее значение также следует нормальному распределению. Как насчет минимума и максимума?

Вы должны взглянуть на статистику заказа . Вот очень краткий обзор.

Пусть - выборка iid размера n, взятая из совокупности с функцией распределения F и функцией плотности вероятности f . Определите Y 1 = X ( 1 ) , … , Y r = X ( r ) , … , Y n = X ( n ) , где X ( r ) обозначает статистику r- го порядка выборки$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$ , т. Е. Его r- е наименьшее значение.$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Можно показать , что функция совместной плотности вероятности является$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

, если у 1 < у 2 < ... < у п и 0 в противном случае.$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Интегрируя предыдущее уравнение, мы получаем

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

В частности, для минимума и максимума мы соответственно имеем

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

$n\rightarrow\infty$

Сумма гауссианов является гауссовой. Вот почему в среднем это нормально. Распределение любой нелинейной функции (конечного числа) гауссианов не обязательно должно быть гауссовым, и обычно это не так. Так обстоит дело с функцией максимума. Чтобы приблизить максимум многомерного гауссова, Hothorn - хорошее место для начала.