Можно ли использовать квадрат Чи для сравнения пропорций?

Я читал, что тест хи-квадрат полезен, чтобы увидеть, значительно ли образец отличается от набора ожидаемых значений.

Например, вот таблица результатов опроса относительно любимых цветов людей (всего n = 15 + 13 + 10 + 17 = 55 респондентов):

red,blue,green,yellow

15,13,10,17

Тест хи-квадрат может сказать мне, значительно ли этот образец отличается от нулевой гипотезы равной вероятности людей, которым нравится каждый цвет.

Вопрос: Можно ли выполнить тест на пропорциях от общего числа респондентов, которым нравится определенный цвет? Как ниже:

red,blue,green,yellow

0.273,0.236,0.182,0.309

Где, конечно, 0,273 + 0,236 + 0,182 + 0,309 = 1.

Если тест хи-квадрат не подходит в этом случае, какой тест будет? Благодарность!

Изменить: я попытался @Roman Luštrik ответ ниже, и получил следующий вывод, почему я не получаю p-значение и почему R говорит: «Приближение хи-квадрат может быть неправильным»?

> chisq.test(c(0,0,0,8,6,2,0,0),p = c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0) 
X-squared = NaN, df = 7, p-value = NA

Warning message:
In chisq.test(c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0), p = c(0.406197174, 0.088746395,  :
  Chi-squared approximation may be incorrect

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но я думаю, что это можно сделать в R с помощью этой команды

> chisq.test(c(15,13,10,17))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 1.9455, df = 3, p-value = 0.5838

Это предполагает пропорции 1/4 каждый. Вы можете изменить ожидаемые значения с помощью аргумента p. Например, вы думаете, что люди могут предпочесть (по любой причине) один цвет другим (и).

> chisq.test(c(15,13,10,17), p = c(0.5, 0.3, 0.1, 0.1))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 34.1515, df = 3, p-value = 1.841e-07

Используя предоставленную вами дополнительную информацию (поскольку некоторые значения равны 0), становится совершенно очевидно, почему ваше решение ничего не возвращает. Например, у вас есть вероятность, равная 0, поэтому:

• в решении Генри 0 для по крайней мере одного я$e_i$
• в решении вероятности является 0 для по крайней мере одного i$np_i$

Что делает невозможным разделение. Теперь говорят, что $p=0$ , это означает, что такой результат невозможен. Если это так, вы можете просто стереть его из данных (см. Комментарий @cardinal). Если вы имеете в виду крайне маловероятное, первое «решение» может заключаться в том, чтобы увеличить этот 0 шанс с очень небольшим числом.

Данный :

X <- c(0,0,0,8,6,2,0,0)
p <- c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0)

Вы могли бы сделать:

> p2 <- p + 1e-6
> chisq.test(X,p2)

        Pearson's Chi-squared test

data:  X and p2 
X-squared = 24, df = 21, p-value = 0.2931

Но это не правильный результат. В любом случае, следует избегать использования критерия хи-квадрат в этих пограничных случаях. Лучшим подходом является использование метода начальной загрузки, вычисление адаптированной статистики теста и сравнение данных из выборки с распределением, полученным начальной загрузкой.

В коде R это может быть (шаг за шагом):

# The function to calculate the adapted statistic.
# We add 0.5 to the expected value to avoid dividing by 0
Statistic <- function(o,e){
    e <- e+0.5
    sum(((o-e)^2)/e)
}

# Set up the bootstraps, based on the multinomial distribution
n <- 10000
bootstraps <- rmultinom(n,size=sum(X),p=p)

# calculate the expected values
expected <- p*sum(X)

# calculate the statistic for the sample and the bootstrap
ChisqSamp <- Statistic(X,expected)
ChisqDist <- apply(bootstraps,2,Statistic,expected)

# calculate the p-value
p.value <- sum(ChisqSamp < sort(ChisqDist))/n
p.value

Это дает значение p, равное 0, что намного больше соответствует разнице между наблюдаемым и ожидаемым. Имейте в виду, этот метод предполагает, что ваши данные взяты из полиномиального распределения. Если это предположение не выполняется, значение p также не выполняется.

Критерий хи-квадрат хорош, если ожидаемые значения велики, обычно выше 10 - хорошо. ниже этого часть имеет тенденцию доминировать в тесте. Точная статистика теста определяется как:$\frac{1}{E(x_{i})}$

Где - наблюдаемый счет в категории i . i ∈ { красный, синий, зеленый, желтый } в вашем примере. n - ваш размер выборки, равный 55 в вашем примере. p i - это гипотеза, которую вы хотите проверить - наиболее очевидным является p i = p j (все вероятности равны). Вы можете показать, что статистика хи-квадрат:$x_{i}$$i$$i\in \{\text{red, blue, green, yellow}\}$$n$$55$$p_i$$p_i=p_j$

In terms of the observed frequencies $f_{i}=\frac{x_{i}}{n}$ we get:

(Note that $\psi$ is the effectively the KL divergence between the hypothesis and the observed values). You may be able to see intuitively why $\psi$ is better for small $p_{i}$, because it does have a $\frac{1}{p_{i}}$ but it also has a log function which is absent from the chi-square, this "reigns in" the extreme values caused by small expected counts. Now the "exactness" of this $\psi$ statistic is not as an exact chi-square distribution - it is exact in a probability sense. The exactness comes about in the following manner, from Jaynes 2003 probability theory: the logic of science.

If you have two hypothesis $H_{1}$ and $H_{2}$ (i.e. two sets of $p_i$ values) that you wish to test, each with test statistics $\psi_{1}$ and $\psi_{2}$ respectively, then $\exp\left(\psi_{1}-\psi_{2}\right)$ gives you the likelihood ratio for $H_{2}$ over $H_{1}$. $\exp\left(\frac{1}{2}\chi_{1}^{2}-\frac{1}{2}\chi_{2}^{2}\right)$ gives an approximation to this likelihood ratio.

Now if you choose $H_{2}$ to be the "sure thing" or "perfect fit" hypothesis, then we will have $\psi_{2}=\chi^{2}_{2}=0$, and thus the chi-square and psi statistic both tell you "how far" from the perfect fit any single hypothesis is, from one which fit the observed data exactly.

Final recommendation: Use $\chi_{2}^{2}$ statistic when the expected counts are large, mainly because most statistical packages will easily report this value. If some expected counts are small, say about $np_{i}<10$, then use $\psi$, because the chi-square is a bad approximation in this case, these small cells will dominate the chi-square statistic.

Yes, you can test the null hypothesis: "H0: prop(red)=prop(blue)=prop(green)=prop(yellow)=1/4" using a chi square test that compares the proportions of the survey (0.273, ...) to the expected proportions (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

The test statistic for Pearson's chi-square test is

If you write $o_i = \dfrac{O_i}{n}$ and $e_i = \dfrac{E_i}{n}$ to have proportions, where $n=\sum_{i=1}^{n} O_i$ is the sample size and $\sum_{i=1}^{n} e_i =1$, then the test statistic is is equal to

so a test of the significance of the observed proportions depends on the sample size, much as one would expect.