Может ли кто-нибудь уточнить понятие «сумма случайных величин»

21

В моем классе вероятностей постоянно используются термины «суммы случайных величин». Тем не менее, я застрял на том, что именно это означает?

Мы говорим о сумме связок реализаций от случайной величины? Если это так, разве это не означает, что это одно число? Как сумма реализаций случайных величин приводит нас к распределению или к функции cdf / pdf / любого рода? И если это не случайные реализации переменных, то что именно добавляется?

— Gosset
источник

1

Под «реализацией случайной величины» я предполагаю, что вы имеете в виду фактические наблюдаемые значения. То, что суммируется в «сумме случайных величин», это случайные переменные до того, как они наблюдаются. Представьте себе, как рассчитать вес следующих 5 человек, чтобы попасть на лифт. Вы не знаете их вес (пока), поэтому каждый из них является случайной величиной. Но вы, вероятно, хотели бы узнать кое-что о распределении суммы их весов.

— PeterR

@PeterR Это то, что я не понимаю. Как вообще имеет смысл говорить о добавлении чего-то, что еще не имеет ценности? Это метафорический тип суммирования?

— Госсет

1

Я думаю, что ваша проблема в том, что вы не понимаете, что такое случайная величина. Если вы поймете эту концепцию, то сумма тоже придет легко.

— Аксакал

@Aksakal Разве тот факт, что я уже разместил этот вопрос, не свидетельствует об этом? Возможно, если вы знаете это, вы могли бы уточнить концепцию?

— Госсет

Великие ответы были даны. Другим хорошим примером является сумма двух кубиков, . Результат явно случайный (вы не знаете заранее, какова будет сумма обоих кубиков). Мы знаем, что и независимы. Оказывается, что имеет треугольное распределение.

X + Y

$X+Y$

X, Y \sim U n i f (1, 6)

$X,Y\sim Unif(1,6)$

X + Y

$X+Y$

— bdeonovic

39

Физическая, интуитивно понятная модель случайной величины состоит в том, чтобы записать имя каждого члена населения на одном или нескольких листах бумаги - «билеты» - и поместить эти билеты в коробку. Процесс тщательного перемешивания содержимого коробки с последующим слепым извлечением одного билета - точно так же, как в лотерее - моделирует случайность. Неоднородные вероятности моделируются путем введения в поле переменного количества заявок: больше билетов для более вероятных участников, меньше для менее вероятных.

Случайная величина представляет собой число , связанное с каждым членом населения. (Поэтому для согласованности на каждом билете для данного участника должно быть написано одно и то же число.) Несколько случайных величин моделируются путем резервирования пробелов в билетах для более чем одного номера. Мы обычно дают эти пространства имен , как и . Сумма этих случайных величин обычная сумма: Оставляем новое пространство на каждом билете на сумму, считывать значения и т.д. на каждом билете, и написать их сумму в этом новом пространстве. Это последовательный способ записи чисел на билетах, так что это еще одна случайная величина. $X,$ $Y,$ $Z$ $X,$ $Y,$

фигура

Эта фигура изображает окно , представляющий популяцию и три случайные величины , и . Он содержит шесть билетов: три для (синий) дают ему вероятность , два для (желтый) дают ему вероятность , а один для (зеленый) дает ему вероятность . Для того, чтобы отобразить то, что написано на билетах, они показываются перед смешиванием. $\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$ $X$ $Y$ $X+Y$ $\alpha$ $3/6$ $\beta$ $2/6$ $\gamma$ $1/6$

Прелесть этого подхода в том, что все парадоксальные части вопроса оказываются правильными:

сумма случайных величин действительно является одним определенным числом (для каждого члена населения),
все же это также приводит к распределению (заданному частотами, с которыми сумма появляется в поле), и
это все еще эффективно моделирует случайный процесс (потому что билеты все еще выбраны вслепую из коробки).

Таким образом, сумма может одновременно иметь определенное значение (заданное правилами сложения применительно к номерам на каждом из билетов), в то время как реализация - которая будет представлять собой билет, извлеченный из коробки - не будет иметь значения до это выполняется.

Эта физическая модель извлечения билетов из коробки принята в теоретической литературе и строго определена с определениями выборочного пространства (совокупности), сигма-алгебр (с соответствующими им вероятностными мерами) и случайных величин в качестве измеримых функций, определенных на выборочном пространстве. ,

Это описание случайных величин разработано на реалистичных примерах в разделе «Что означает случайная величина?» ,

— Whuber
источник

3

+1 примерный пост. Надеюсь, вы не возражаете против дерзкого вопроса, но для чего была сделана иллюстрация?

— Glen_b

4

@Glen_b PowerPoint :-). Изображение коробки взято из mymiddlec.files.wordpress.com/2013/09/empty-box.jpg . Билеты PowerPoint графика. (В таких вопросах нет ничего неуместного!) Я сгруппировал всю связку, вставил ее в Paint и использовал для сохранения в виде файла .png.

— whuber

Я что-то упускаю, но кажется, что вы просто пишете несколько числовых меток на каждого члена населения. Все альфы имеют X = 1, Y = 2 и, следовательно, X + Y = 3 .. X, Y и X + Y имеют абсолютно одинаковое распределение, смещенное на значение здесь значение там, из-за разных уровней

— MiloMinderbinder

1

@whuber - должен был написать частоты. Не очень хорошо разбирается в математических жаргонах, чтобы сказать «основную меру вероятности». во всяком случае, вы получаете мой дрейф. Я начинаю понимать, как я могу поиграться с числами на билетах, чтобы получить желаемое распределение вероятностей. На поверхностном уровне этот подход просто выглядел как игра слов с разными «ярлыками» и, следовательно, не видел его четко. это будет как 50-й раз, когда вы помогли мне на этом сайте. спасибо

— MiloMinderbinder

1

@Milo Не за что. Теперь я вижу, что вы реагировали на пример в этом ответе, а не на пример, который я привел в предыдущих комментариях. Пример ответа действительно имеет три разных билета с относительными частотами 1: 2: 3, и это все, что означает «мера вероятности» в этом случае. Это не просто жаргон: существует глубокая потребность в базовых концепциях. Посмотрите, среди прочего, stats.stackexchange.com/questions/199280 для некоторых хороших учетных записей.

— whuber

4

за этой фразой нет никакого секрета, она настолько проста, насколько вы можете подумать: если X и Y - две случайные величины, их сумма равна X + Y, и эта сумма также является случайной величиной. Если X_1, X_2, X_3, ..., X_n и являются n случайными переменными, их сумма равна X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n, и эта сумма также является случайной величиной (и реализация этой суммы является одиночной число, а именно сумма n реализаций).

Почему вы так много говорите о суммах случайных величин в классе? Одной из причин является (удивительная) центральная предельная теорема: если мы сложим много независимых случайных величин, то мы сможем «предсказать» распределение этой суммы (почти) независимо от распределения отдельных переменных в сумме! Сумма имеет тенденцию становиться нормальным распределением, и это - вероятная причина, почему мы наблюдаем нормальное распределение так часто в реальном мире.

— jolvi
источник

3

rv - это отношение между возникновением события и действительным числом. Скажем, если идет дождь, значение X равно 1, если нет, то 0. У вас может быть другой rv Y, равный 10, когда холодно, и 100, когда жарко. Итак, если идет дождь и холодно, то X = 1, Y = 10 и X + Y = 11.

Значения X + Y равны 10 (не холодно); 11 (дождь, холодно), 100 (не дождь, жарко) и 110 (дождь, жарко). Если вы выясните наши вероятности событий, вы получите PMF этого нового rv X + Y.

— Аксакал
источник

1

$X,Y$ $X+Y$ $\Omega_1\times \Omega_2$ $X,Y$ $\Omega=\{Head,Tail\}$ $X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$ $(X+Y)$ $X,Y$ $\sigma-$ $X,Y$

— Даниэль Ли
источник