Функции независимых случайных величин

Является ли утверждение о том, что функции независимых случайных величин сами по себе независимы, верно?

Я видел, что этот результат часто неявно используется в некоторых доказательствах, например, в доказательстве независимости между выборочным средним и выборочной дисперсией нормального распределения, но я не смог найти оправдания этому. Кажется, что некоторые авторы принимают это как данность, но я не уверен, что это всегда так.

Самое общее и абстрактное определение независимости делает это утверждение тривиальным, предоставляя важное квалифицирующее условие: две случайные переменные являются независимыми, что означает, что генерируемые ими сигма-алгебры являются независимыми. Поскольку сигма-алгебра, порожденная измеримой функцией сигма-алгебры, является подалгеброй, тем более любые измеримые функции этих случайных величин имеют независимые алгебры, откуда эти функции независимы.

(Когда функция не измерима, она обычно не создает новую случайную переменную, поэтому концепция независимости даже не применима.)

---

Давайте развернем определения, чтобы увидеть, насколько это просто. Напомним, что случайная величина является действительной функцией, определенной в «выборочном пространстве» (множество результатов, изучаемых с помощью вероятности).$X$$\Omega$

1. Случайная переменная изучается с помощью вероятностей того, что ее значение лежит в различных интервалах действительных чисел (или, в более общем случае, множеств, построенных простыми способами вне интервалов: это измеримые по Борелю множества действительных чисел).$X$

2. В соответствии с любым Бореля измеримого множества является событие , состоящее из всех исходов , для которых лежит в .X ∗ ( I ) ω X ( ω ) $I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. Сигма-алгебра, порожденная , определяется совокупностью всех таких событий.$X$

4. Наивное определение говорит две случайные величины и являются независимыми « когда их вероятности размножаться.» То есть, когда - одно измеримое по Борелю множество, а - другое, тоY I $X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Но на языке событий (и сигма-алгебр) это так же, как

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Теперь рассмотрим две функции и предположим, что и - случайные величины. (Круг является функциональной композицией: . Вот что означает для быть «функцией случайной величины».) Обратите внимание - это это просто элементарная теория множеств - это f ∘ X g ∘ Y ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

Другими словами, каждое событие, генерируемое (которое слева), автоматически является событием, генерируемым$f\circ X$$X$ (как показано в форме правой части). Поэтому (5) автоматически выполняется для и : проверять нечего!g ∘ $f\circ X$$g\circ Y$

---

NB. Вы можете заменить «действительные» везде на «значениями в », не изменяя что-либо еще каким-либо материальным способом. Это охватывает случай вектор-случайных переменных.$\mathbb{R}^d$

Рассмотрим это «менее продвинутое» доказательство:

Пусть , где - независимые случайные величины, а - измеримые функции. Тогда: Используя независимость и , X,Yf,gP{f(X)≤x и g(Y)≤у$X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$ХУР({Х∈{ш∈ R н :е(ш)≤х}

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

Идея состоит в том, чтобы заметить, что множество поэтому свойства, которые действительны для распространяются на , и то же самое происходит на .X f ( X )

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

Да, и независимы для любых функций и до тех пор, пока и независимы. Это очень известные результаты, которые изучаются на курсах теории вероятностей. Я уверен, что вы можете найти его в любом стандартном тексте, как Биллингсли.h ( Y ) g h X $g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

Не как альтернатива, а как дополнение к предыдущим блестящим ответам, обратите внимание, что этот результат на самом деле очень интуитивен.

Обычно мы думаем, что и независимы, что означает, что знание значения дает информации о значении и наоборот. Эта интерпретация, очевидно, подразумевает, что вы не можете каким-то образом «выжать» информацию, применяя функцию (или любым другим способом на самом деле).$X$$Y$$X$$Y$