Квадрат нормального распределения с определенной дисперсией

Каково распределение квадрата нормально распределенной случайной величины с ? Я знаю, что является допустимым аргументом при возведении в квадрат стандартного нормального распределения, но как насчет случая неединичной дисперсии? $X^2$ $X\sim N(0,\sigma^2/4)$
$\chi^2(1)=Z^2$

distributions normal-distribution

— CodeTrek
источник

Почему бы просто не рассчитать это непосредственно из уравнения Норм, а затем построить результирующую функцию?

Я ищу теоретическое объяснение здесь ...

— CodeTrek

Напишите

... или эквивалентно

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. Вы можете сделать это сейчас?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b

? Итак, ничего необычного не центрированного материала чи-квадрат?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

— CodeTrek

Пока среднее значение равно

, нет нецентрального хи-квадратного материала; как указывает Glen_b, просто ванильное масштабированное распределение

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Дилип Сарвате

Чтобы закрыть это:

Икс ~ N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{{Икс}^{2}}{σ^{2} / 4} ~ χ_{1}^{2} \Rightarrow {Икс}^{2} знак равно \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} знак равно Q ~ Гамма (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

Е (Q) знак равно \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) знак равно \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Алекос Пападопулос
источник

Это не правильно. Если

то

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

ноне

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

. Вы делите

на неправильный фактор. Посмотрите здесь:en.wikipedia.org/wiki/...

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

— Euler_Salter

@Euler_Salter Вы смотрели, как определяется переменная

в вопросе OP?

X

$X$

— Алекос Пападопулос

О, я пропустил это! Читай слишком быстро! Извинения

— Euler_Salter

@Euler_Salter Кроме того, стандартизированная переменная следует распределению чи , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Вы должны возвести его в квадрат, чтобы получить хи-квадрат.

— Алекос Пападопулос