Условная гомоскедастичность против гетероскедастичности

Из эконометрики Фумио Хаяси (Гл. 1):

Безусловная гомоскедастичность:

• Второй момент ошибки членов E (εᵢ²) постоянен по наблюдениям
• Функциональная форма E (εᵢ² | xi) постоянна по наблюдениям

Условная гомоскедастичность:

• Снято ограничение, что второй момент слагаемых ошибки E (εᵢ²) постоянен по наблюдениям, снят
  • Таким образом, условный второй момент E (εᵢ² | xi) может различаться по наблюдениям из-за возможной зависимости от xᵢ.

Итак, мой вопрос:

Чем условная гомоскедастичность отличается от гетероскедастичности?

Насколько я понимаю, существует гетероскедастичность, когда второй момент отличается между наблюдениями (xᵢ).

Я начну с того, что просто цитирую Хаяси, чтобы помочь кому-либо еще, кто хотел бы прокомментировать. Я пытался сохранить форматирование и оригинальные числа уравнений.

Начните цитату со страницы 126 Хаяси, раздел 2.6:

Условная и безусловная гомоскедастичность

Условное допущение гомоскедастичности:

Предположение 2.7 (условная гомоскедастичность): Это предположение подразумевает, что безусловный второй момент равен по закону полных ожиданий. Чтобы прояснить различие между безусловной и условной гомоскедастичностью, рассмотрим следующий пример [Пример 2.6 (безоговорочно гомоскедастические, но условно гетероскедастические ошибки) ...]

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$

Конец цитаты.

Некоторые соответствующие уравнения из страниц Хаяши, стр. 11-14 (раздел 1.1):

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

В подразделе «Классическая регрессионная модель для случайных выборок» на стр. 12 обсуждаются последствия использования выборки. Цитата из страниц Хаяши 12-13: «Смысл идентичного аспекта распределения случайной выборки заключается в том, что совместное распределение не зависит от . Таким образом, безусловный второй момент является постоянным по (это называется безусловной гомоскедастичностью ), а функциональная форма условного второго момента одинакова по . Однако предположение 1.4 --- что значение$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$условного второго момента одинаково по --- не следует. Поэтому предположение 1.4 остается ограничительным для случая случайной выборки; без него условный второй момент может различаться по за его возможной зависимости от . Чтобы подчеркнуть это различие, ограничения на условные вторые моменты (1.1.12) и (1.1.17) называются условной гомоскедастичностью ".$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[Никаких дальнейших цитат из Хаяси, только мое понимание после этого.]

Я предполагаю, что первоначальный вопрос был о вышеупомянутом обсуждении на страницах 12-13. В этом случае, я думаю, что первый пункт в разделе «Условная гомоскедастичность» не является технически правильным (хотя я понимаю, что вы имеете в виду): Хаяси говорит (1.1.17) «условная гомоскедастичность», и если , затем , как отмечает Хаяси на странице 126 (эта условная гомоскедастичность подразумевает безусловную гомоскедастичность по Закону Полных Ожиданий). Е ( ε 2 я ) = Е [ Е ( ε 2 я | х я ) ] = E [ σ 2 ] = σ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

Поэтому я думаю, что частью проблемы может быть интерпретация заявлений Хаяси. Условная гомоскедастичность говорит (1.1.17), что даже для разных дисперсия является одной и той же константой . Безусловная гомоскедастичность является более слабым утверждением, поскольку вы можете иметь но ; Примеры 2.6 (стр. 127) иллюстрируют это. Возможно, он также отвечает на вопрос о совпадении между гомо- и гетероскедастичностью: он дает пример, когда существует безусловная гомоскедастичность, а также условная гетероскедастичность.ε я сг 2 Е( ε 2 я )= сг 2 Е( ε 2 я | х я )≠ сг $\mathbf x_i$$\epsilon_i$$\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$

Это запутанные концепции, особенно без большого опыта с условными ожиданиями / распределениями, но, надеюсь, это добавляет некоторую ясность (и исходный материал для любых будущих обсуждений).