Каково распределение евклидова расстояния между двумя нормально распределенными случайными величинами?

Предположим, вам даны два объекта, точное местоположение которых неизвестно, но они распределены в соответствии с обычным распределением с известными параметрами (например, и . Мы можем предположить, что это обе двумерные нормали, так что позиции описываются распределением по координатам (т. Е. и - векторы, содержащие ожидаемые координаты для и соответственно). Мы также будем предполагать, что объекты независимы. $a \sim N(m, s)$ $b \sim N(v, t))$ $(x,y)$ $m$ $v$ $(x,y)$ $a$ $b$

Кто-нибудь знает, является ли распределение евклидова расстояния в квадрате между этими двумя объектами известным параметрическим распределением? Или как получить PDF / CDF для этой функции аналитически?

normal-distribution distance-functions

— Ник
источник

Вы должны получить кратное нецентрального распределения хи-квадрат, если все четыре координаты не коррелированы. В противном случае результат выглядит намного сложнее.

— whuber

@whuber любые подробности / указатели, которые вы могли бы предоставить относительно того, как параметры получающегося нецентрального распределения хи-квадрат соотносятся с параметрами объектов a, b, это было бы фантастически

— Ник

@ Ник первые несколько параграфов статьи Wikipedia предоставляют подробности. Глядя на характерных функциях , которые вы можете установить , что подобный результат не доступен , если не все дисперсии одинаковы или есть некоторые корреляции.

— whuber

@ Ник, просто чтобы уточнить, и - случайные векторы со значениями в ?

a

$a$

b

$b$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— mpiktas

@ Ник, если и вместе нормальны, то разница нормальна. Тогда ваша задача - найти распределение случайного нормального вектора. Погуглил я нашел эту ссылку . В статье описывается гораздо более сложная проблема, которая в очень конкретном случае совпадает с вашей. Это дает некоторую надежду, что есть определенный ответ на ваш вопрос. Ссылки могут дать вам дополнительные идеи, где искать.

a

$a$

b

$b$

a - b

$a-b$

— mpiktas

Ответы:

Ответ на этот вопрос можно найти в книге « Квадратичные формы в случайных величинах», написанной Mathai and Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Как поясняется в комментариях, вам нужно найти распределение где следует двумерному нормальному распределению со средним и ковариационной матрицей . Это квадратичная форма в двумерной случайной величины . $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

Вкратце, один хороший общий результат для мерного случая, когда и состоит в том, что функция, производящая момент, равна $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

Q = \sum_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

где

собственные

является линейной функцией от

. См. Теорему 3.2a.2 (стр. 42) в цитированной выше книге (здесь мы предполагаем, что

неособа). Другое полезное представление 3.1a.1 (стр. 29)

E (e^{t Q}) = e^{t Σ_{J знак равно 1}^{п} \frac{б_{J}^{2} λ_{J}}{1 - 2 T λ_{J}}} Π_{J знак равно 1}^{п} (1 - 2 T λ_{J})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

где

- это

Q знак равно Σ_{J знак равно 1}^{п} λ_{J} (U_{J} + б_{J})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$

N (0, 1)

$N(0, 1)$

Вся глава 4 в книге посвящена представлению и вычислению плотностей и функций распределения, что вовсе не тривиально. Я только поверхностно знаком с книгой, но у меня сложилось впечатление, что все общие представления в терминах бесконечных разложений в ряды.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$ $b$ $a-b$

— NRH
источник

Спасибо за ссылку, я нашел книгу и медленно пытаюсь пробраться через нее

— Ник

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

Во-вторых, обратите внимание на распределение длины разностного вектора или радиального расстояния от начала координат, которое распределено Хойтом :

Радиус вокруг истинного среднего в двумерной коррелированной нормальной случайной переменной с неравными дисперсиями, переписанной в полярных координатах (радиус и угол), следует распределению Хойта. Pdf и cdf определены в закрытом виде, числовой корень используется для поиска cdf ^ −1. Сводится к распределению Рэлея, если корреляция равна 0, а дисперсии равны.

Более общее распределение возникает, если учесть смещенную разницу (смещенное происхождение) из баллистипедии :

— Фелипе Георгиевич Невински
источник

+1, но я думаю, что стоит отметить, что вопрос касается того, что ваша фигура называет «общим делом».

— говорит амеба: восстанови Монику

Почему бы не проверить это?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

Участок 1 Участок 2 Участок 3 Сюжет 4

— Брэндон Бертельсен
источник

В комментариях к первоначальному вопросу уже говорилось, как бы выглядело, если бы различия были одинаковыми, а переменные не коррелированными. Возможно, привести пример, где это не так, было бы более поучительным.

— Энди W

Можете ли вы привести такой пример?

— Брэндон Бертельсен

все, что вам нужно сделать, это сгенерировать значения x и y, которые либо коррелированы, либо имеют разные отклонения. Различные отклонения могут быть сделаны прямо в коде, как есть. Вы можете генерировать значения из указанной ковариационной матрицы, используя mvrnorm из пакета MASS. Также я не уверен, что функция "дантист" в приведенном выше коде, если это, возможно, "плотность".

— Энди W

При этом, вероятно, столь же поучительно работать с математикой, чтобы понять, почему это так (и как манипулирование дисперсией / ковариациями изменит распределение). Мне не совсем понятно, почему это так, просто взглянув на характерную функцию, упомянутую whuber. Похоже, что простое понимание правил сложения, вычитания и умножения случайных величин поможет вам понять, почему это так.

— Энди W