Как распределение может иметь бесконечное среднее значение и дисперсию?

35

Было бы желательно, чтобы были приведены следующие примеры:

Распределение с бесконечным средним и бесконечной дисперсией.
Распределение с бесконечным средним и конечной дисперсией.
Распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией.
Распределение с конечным средним и конечной дисперсией.

Это происходит от того, что я вижу эти незнакомые термины (бесконечное среднее, бесконечное отклонение), использованные в статье, которую я читаю, гуглю и читаю ветку на форуме / сайте Уилмотта , и не нахожу это достаточно четким объяснением. Я также не нашел никаких объяснений ни в одном из моих собственных учебников.

distributions variance mean

— user1205901 - Восстановить Монику
источник

1

Случай 2 в вашем списке выше невозможен.

— kjetil b halvorsen

Соответствующий: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

1

Возможный дубликат В чем разница между конечной и бесконечной дисперсией

— kjetil b halvorsen

2

Задавая эти четыре конкретных примера, я думаю, что это отдельный вопрос, и его не следует закрывать как дубликат, хотя другой вопрос, безусловно, актуален и полезен.

— Серебряная

1

Из 4 примеров только 1, 3 и 4 фактически возможны, и простые примеры можно привести для 1 и 4. Коши - это пример 1, а гауссовский - это пример 4. Невозможно четко определить дисперсию. если .mean не существует. Следовательно, 2 невозможно. Пример 3 было бы интересно построить.

— Майкл Р. Черник

52

Среднее и дисперсия определяются в терминах интегралов. То, что означает, что среднее значение или дисперсия являются бесконечными, является утверждением об ограничивающем поведении для этих интегралов.

Например, среднее значение равно (учитывая это, скажем, как интеграл Стилтьеса); для непрерывной плотности это будет (теперь, скажем, как интеграл Римана). $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Это может произойти, например, если хвост «достаточно тяжелый». Рассмотрим следующие примеры для четырех случаев конечного / бесконечного среднего и дисперсии:

Распределение с бесконечным средним и бесконечной дисперсией.

Примеры: распределение Парето с , распределение дзета (2). $\alpha= 1$
Распределение с бесконечным средним и конечной дисперсией.

Невозможно.
Распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией.

Примеры: распределение $t_2$ . Парето с . $\alpha=\frac{3}{2}$
Распределение с конечным средним и конечной дисперсией.

Примеры: любой нормальный. Любая униформа (действительно, любая ограниченная переменная имеет все моменты). . $t_3$

Вы также можете иметь распределение, где интеграл не определен, но не обязательно выходит за все конечные границы в пределе.

Эти заметки Чарльза Гейера говорят о том, как вычислить соответствующие интегралы в простых терминах. Похоже, что он имеет дело с интегралами Римана, которые охватывают только непрерывный случай, но более общие определения интеграла (например, Стилтьеса) будут охватывать все случаи, которые вам могут потребоваться [Интеграция Лебега - это форма интегрирования, используемая в теории меры (что лежит в основе вероятности), но суть здесь прекрасно работает с более простыми методами]. Это также покрывает (Раздел 2.5, p13-14), почему "2" невозможно (среднее существует, если существует дисперсия).

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

7

+1 Причина невозможности (2) тривиальна: дисперсия определяется в терминах среднего значения. Немного глубже тот факт, что когда второй момент

конечен, то среднее должно быть конечным. Ибо если среднее бесконечно, то подавно второй момент должен быть бесконечным , поскольку второй момент взвешивания значения

не только вероятностью , но и

самые (

). Эти веса растут без ограничений, в результате чего второй момент в конечном итоге превышает абсолютное значение первого момента.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber, но вы можете определить дисперсию без ссылки на среднее (например, с точки зрения ожидания квадратов различий в парах значений), поэтому проблема не так тривиальна, как эта. Нечто более похожее на ваш второй аргумент действительно необходимо.

— Glen_b

3

Это хороший момент, но если мы примем, что любое альтернативное определение дисперсии алгебраически эквивалентно обычному определению для всех распределений, то если оно не определено в соответствии с одним определением, которое логически может показаться достаточным доказательством того, что оно не определено согласно в торговый центр. Где альтернативы, подобные той, которую вы упоминаете, выходят на первый план, при изучении случайных процессов, где различные определения не эквивалентны.

— whuber

2

Да. Дисперсия, являющаяся ожиданием неотрицательной случайной величины, равна интегралу Лебега только положительной части. Следовательно, оно либо конечное, либо бесконечное (в расширенной числовой строке), несмотря ни на что. Это свойство быть неотрицательным отличает анализ четных моментов от анализа других моментов, которые не могут быть определены.

— whuber

2

Определение дисперсии состоит в том, что она равна

.

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

Стабильные распределения предоставляют хорошие параметрические примеры того, что вы ищете:

бесконечное среднее и дисперсия: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
конечное среднее и бесконечная дисперсия: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
конечное среднее и дисперсия: (гауссовский) $\text{stability parameter} = 2$

— Стив Шулист
источник

1

Никто не упомянул петербургский парадокс здесь; в противном случае я не буду публиковать в ветке этот старый, который уже имеет несколько ответов, включая один "принятый" ответ.

Если монета приземляется «головой», вы выигрываете один цент.

Если «хвосты», выигрыш удваивается, а затем, если «выигрывает» на втором броске, вы выигрываете два цента.

Если во второй раз «выигрывают», выигрыш снова удваивается, а при «третьем» выигрыше вы выигрываете четыре цента.

И так далее:

\begin{array}{rccc} исход & выигрыши & вероятность & продукт \\ ЧАС & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

$\$1$ $\$1$

Ответ в том, что в одном очень редком случае вы получите длинную последовательность хвостов, чтобы выигрыш компенсировал вам огромные расходы, которые вы понесли. Это верно независимо от того, насколько высока цена, которую вы платите за каждый бросок.

— Майкл Харди
источник

-1

{Икс}_{2} знак равно сколько раз вы можете увеличить, как 10 см, во фрактал

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— Мистер джо
источник

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$