Распределение свертки квадратов нормальных и хи-квадрат переменных?

Следующая проблема возникла недавно при анализе данных. Если случайная величина X следует нормальному распределению, а Y следует распределению $\chi^2_n$ (с n dof), как распределяется $Z = X^2 + Y^2$ ? До сих пор я придумал ПРВ $Y^2$ :

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

а также некоторые упрощения для интеграла свертки ( имеет pdf с m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Видит ли кто-нибудь хороший способ вычисления этого интеграла для любого реального t, или он должен быть вычислен численно? Или я упускаю гораздо более простое решение?

— Лео Сцилард
источник

Если бы

не был в квадрате, у меня был бы определенный совет. Я не думаю, что этот будет податливым (и не обязательно особенно просвещающим, даже если он окажется податливым). Мне бы хотелось взглянуть на вычислительные подходы, такие как числовая свертка или симуляция, в зависимости от того, что именно вы хотите сделать с результатом.

Y

$Y$

— Glen_b

На мой взгляд, маловероятно, что интеграл можно сделать.

— Dave31415

@ Dave31415 Для четных

интеграл можно явно вычислить для положительных интегральных значений

. Она будет равна линейной комбинации экспонент и функций ошибок с коэффициентами, которые являются полиномами от

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

. Оценка может быть выполнена с помощью замены

. Например, при

получаем

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

Nice. For odd numbers, you could probably approximate it with the average of the result for bounding even numbers? Or maybe not.

— Dave31415

Thanks for your replies! For some even-even cases I got a similar result involving Dawson's function, but it looks like I'll have to do some more work for a general solution...

— Leo Szilard

In case it helps, the variable $Y^2$ is a generalised gamma random variable (see e.g., Stacy 1962). Your question is asking for the distribution of the sum of a chi-squared random variable and a generalised gamma random variable. To my knowledge, the density of the resultant variable has no closed form expression. Hence, the convolution you have obtained is an integral with no closed form solution. I think you're going to be stuck with a numerical solution for this one.

Stacy, E.W. (1962). A Generalization of the Gamma Distribution. Annals of Mathematical Statistics 33(3), pp. 1187-1192.

— Reinstate Monica
источник

This is a hint only. Pearson type III can be Chi-squared. Sometimes a convolution can be found by convolving something with itself. I managed to do this for convolving ND and GD, for which I convolved a Pearson III with itself. How this works with ND $^2$ and Chi-Squared, I am not sure. But, you asked for hints, and this is a general hint. That should be enough to get you started, I hope.

— Carl
источник

Could you explain how this answers the question? It doesn't seem directly related.

— whuber

Pearson type III convolution with itself can be done. For some reason convolving one thing with itself is easier to solve than convolving one thing with another. For example, I solved the convolution of Pearson type III and obtained the convolutions of ND with GD, a related problem.

— Carl

Doesn't seem to have helped, will delete shortly.

— Carl