Как сохранить переменные, не зависящие от времени, в модели с фиксированными эффектами

У меня есть данные о сотрудниках крупной итальянской фирмы за десять лет, и я хотел бы увидеть, как гендерный разрыв в заработках мужчин и женщин менялся с течением времени. Для этого я запускаю объединенные OLS: где - это логарифм за год, включает ковариаты, которые различаются по индивидам и времени, - это манекены за год, а равно единице, если работник - мужчина, и равен нулю в противном случае.

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$

y

$y$

X_{i t}

$X_{it}$

d_{t}

$d_t$

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$

Теперь я обеспокоен тем, что некоторые ковариаты могут быть соотнесены с ненаблюдаемыми фиксированными эффектами. Но когда я использую оценку фиксированных эффектов (в пределах) или первые различия, я теряю пустышку, потому что эта переменная не меняется со временем. Я не хочу использовать оценщик случайных эффектов, потому что я часто слышу, как люди говорят, что он делает предположения, которые очень нереалистичны и вряд ли подойдут.

Есть ли какие-либо способы для того, чтобы сохранять гендерные манекены и контролировать фиксированные эффекты одновременно? Если есть способ, нужно ли кластеризовать или позаботиться о других проблемах с ошибками для проверки гипотез по переменной пола?

— user42263
источник

Ответы:

Есть несколько возможных способов сохранить пустышку с фиксированной регрессией эффектов.

В Estimator
Предположим, у вас есть аналогичная модель по сравнению с вашей объединенной моделью OLS: где переменные такие же, как и раньше. Теперь обратите внимание, что и не могут быть идентифицированы, поскольку оценщик не может отличить их от фиксированного эффекта . Учитывая, что - это перехват для базового года , - это влияние пола на заработок в этот период. В этом случае мы можем идентифицировать

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$ потому что они взаимодействуют с вашими манекенами и измеряют различия в частичных эффектах вашей гендерной переменной по сравнению с первым периодом времени. Это означает, что если вы заметите увеличение ваших течением времени, это будет показателем увеличения разрыва в заработках между мужчинами и женщинами.

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

Оценщик первой разницы
Если вы хотите узнать общее влияние разницы между мужчинами и женщинами во времени, вы можете попробовать следующую модель: где переменная взаимодействует с не от времени полом манекен. Теперь, если вы возьмете первые различия и и вы получите Тогда

Y_{я T} знак равно β_{1} + Σ_{T знак равно 2}^{10} β_{T} d_{T} + γ (T \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$ и вы можете определить гендерную разницу в заработке . Таким образом, окончательное уравнение регрессии будет иметь вид: и вы получите эффект интереса. Приятно то, что это легко реализуется в любом статистическом программном обеспечении, но вы теряете период времени.

γ

$\gamma$

Δ Y_{я T} знак равно Σ_{T знак равно 3}^{10} β_{T} Δ d_{T} + γ (м a L е_{я}) + Δ {Икс}_{я T}^{'} θ + Δ ε_{я T}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

Оценщик Хаусмана-Тейлора В
этом оценщике проводится различие между регрессорами, которые можно предположить как некоррелированные с фиксированным эффектом и теми, которые потенциально связаны с ним. Далее проводится различие между переменными во времени и переменными, не зависящими от времени. Пусть обозначает переменные, которые не связаны с а те, которые являются, и, скажем, ваша гендерная переменная является единственной переменной, не от времени. Затем оценщик Хаусмана-Тейлора применяет преобразование случайных эффектов: где обозначение тильды означает $c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{Y}}_{я T} знак равно {\tilde{Икс}}_{1 я T}^{'} + {\tilde{Икс}}_{2 я T}^{'} + γ ({\tilde{м a L е}}_{я 2}) + {\tilde{с}}_{я} + {\tilde{ε}}_{я T}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$ где используется для преобразования случайных эффектов, а - среднее время по каждому человеку. Это не похоже на обычный оценщик случайных эффектов, которого вы хотели избежать, потому что переменные группы используются для удаления корреляции с . Для инструмент . То же самое делается для переменных, не зависящих от времени, поэтому, если вы укажете переменную пола, которая будет потенциально коррелировать с фиксированным эффектом, она будет оснащена

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ , поэтому у вас должно быть больше не зависящих от времени переменных.

Все это может показаться немного сложным, но для этой оценки есть готовые пакеты. Например, в Stata соответствующая команда xthtaylor. Для получения дополнительной информации об этом методе вы можете прочитать Кэмерон и Триведи (2009) "Микроэконометрика с использованием Stata". В противном случае вы можете просто придерживаться двух предыдущих методов, которые немного проще.

Вывод
Для проверки вашей гипотезы не так много нужно рассматривать, кроме того, что вы должны были бы сделать в любом случае при регрессии с фиксированными эффектами. Вам необходимо позаботиться об автокорреляции в ошибках, например, кластеризовав индивидуальную переменную ID. Это учитывает произвольную структуру корреляции среди кластеров (людей), которая имеет дело с автокорреляцией. Для справки см. Снова Кэмерон и Триведи (2009).

— Энди
источник

Еще один потенциальный способ сохранить пустышку - это подход Мундлака (Mundlak, 1978) для модели с фиксированным эффектом с переменными, не зависящими от времени. Подход Мундлака предполагает, что гендерный эффект может быть спроецирован на групповые средние переменных времени.

Мундлак, Y. 1978: О объединении временных рядов и данных сечений. Эконометрика 46: 69-85.

— Эмеривилль
источник

Другой метод заключается в оценке постоянных во времени коэффициентов в уравнении второго этапа с использованием средней ошибки в качестве зависимой переменной.

Сначала оценим модель с помощью FE. Отсюда вы получите оценку и . Для простоты давайте забудем о эффектах года. Определите ошибку оценки как и раньше: $\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$

{\hat{U}}_{я T} \equiv Y_{я T} - {Икс}_{я T} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

Линейный предиктор : $\bar{u}_{i}$

{\bar{U}}_{я} \equiv \frac{Σ_{T знак равно 1}^{T} {\hat{U}}_{я}}{T} знак равно \bar{Y_{я T}} - {\bar{Икс}}_{я} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

Теперь рассмотрим следующее уравнение второго этапа:

{\bar{U}}_{я} знак равно δ м a L е_{я} + с_{я}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

Предполагая, что пол не связан с ненаблюдаемыми факторами . Тогда оценка OLS для является беспристрастной и согласованной по времени (то есть она согласована, когда ). $c_{i}$ $\delta$ $T \rightarrow \infty$

Чтобы доказать вышеизложенное, замените исходную модель на оценщик : $\bar{u}_{i}$

{\bar{U}}_{я} знак равно {\bar{Икс}}_{я} β - {\bar{Икс}}_{я} \hat{β} + δ м a L е_{я} + с_{я} + \frac{Σ_{T знак равно 1}^{T} ε_{я T}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

Ожидание этой оценки:

Е ({\bar{U}}_{я}) знак равно {\bar{Икс}}_{я} β - {\bar{Икс}}_{я} Е (\hat{β}) + δ м a L е_{я} + Е (с_{я}) + \frac{Σ_{T знак равно 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

Если предположения о согласованности FE верны, является объективной оценкой , а . Таким образом: $\hat{\beta}$ $\beta$ $E(\epsilon_{it}) = 0$

Е ({\bar{U}}_{я}) знак равно δ м a L е_{я} + Е (с_{я})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

Таким образом, наш предиктор является объективной оценкой не зависящих от времени компонентов модели.

Что касается согласованности, предел вероятности этого предиктора составляет:

п \underset{T \to \infty}{Ит} {\bar{U}}_{я} знак равно п \underset{T \to \infty}{Ит} ({\bar{Икс}}_{я} β) - п \underset{T \to \infty}{Ит} ({\bar{Икс}}_{я} \hat{β}) + п \underset{T \to \infty}{Ит} δ м a L е_{я} + п \underset{T \to \infty}{Ит} с_{я} + п \underset{T \to \infty}{Ит} (\frac{Σ_{T знак равно 1}^{T} ε_{я T}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Опять же, учитывая допущения FE, является непротиворечивой оценкой , и термин ошибки сходится к его среднему значению, которое равно нулю. Следовательно: $\hat{\beta}$ $\beta$

п \underset{T \to \infty}{Ит} {\bar{U}}_{я} знак равно δ м a L е_{я} + с_{я}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Опять же, наш предиктор является последовательной оценкой не зависящих от времени компонентов модели.

— luchonacho
источник

Устройство камергера Mundlak - идеальный инструмент для этого. Обычно ее называют коррелированной моделью случайных эффектов, поскольку она использует модель случайных эффектов для неявной оценки фиксированных эффектов для переменных во времени, а также для оценки случайных эффектов для переменных, не зависящих от времени.

Тем не менее, в статистических программах вы реализуете их аналогично модели случайных эффектов, но вам необходимо добавить средства для всех вариационных вариантов времени.

— Мартин Пол
источник