Распределение статистики i-го порядка любой непрерывной случайной случайной величины переменная с PDF задается составным распределением "бета-F". Интуитивный способ думать об этом распределении, чтобы рассмотреть статистику заказа Ith в образце . Теперь, чтобы значение i-го порядка статистики случайной величины было равно нам нужно 3 условия:
NXx
- i−1 ниже , это имеет вероятность для каждого наблюдения, где - CDF случайной величины X.xFX(x)FX(x)=Pr(X<x)
- N−iЗначения выше , это имеет вероятностьx1−FX(x)
- 1 значение в бесконечно малом интервале, содержащем , имеет вероятность где равно PDF случайной величиныxfX(x)dxfX(x)dx=dFX(x)=Pr(x<X<x+dx)X
Есть способов сделать этот выбор, поэтому мы имеем:(N1)(N−1i−1)
fi(xi)=N!(i−1)!(N−i)!fX(xi)[1−FX(xi)]N−i[FX(xi)]i−1dx
РЕДАКТИРОВАТЬ в своем первоначальном посте, я сделал очень плохую попытку продвинуться дальше от этого пункта, и комментарии ниже отражают это. Я попытался исправить это ниже
Если мы возьмем среднее значение этого PDF, мы получим:
E(Xi)=∫∞−∞xifi(xi)dxi
И в этом интеграле мы делаем следующее изменение переменной (принимая подсказку @ Генри), и интеграл становится:pi=FX(xi)
E(Xi)=∫10F−1X(pi)Beta(pi|i,N−i+1)dpi=EBeta(pi|i,N−i+1)[F−1X(pi)]
Так что это ожидаемое значение обратного CDF, которое можно хорошо аппроксимировать, используя дельта-метод, чтобы получить:
EBeta(pi|i,N−i+1)[F−1X(pi)]≈F−1X[EBeta(pi|i,N−i+1)]=F−1X[iN+1]
Чтобы сделать лучшее приближение, мы можем расширить до 2-го порядка (простое обозначает дифференцирование), и отметив, что вторая производная от обратного:
∂2∂a2F−1X(a)=−F′′X(F−1X(a))[F′X(F−1X(a))]3=−f′X(F−1X(a))[fX(F−1X(a))]3
Пусть . Тогда имеем:νi=F−1X[iN+1]
EBeta(pi|i,N−i+1)[F−1X(pi)]≈F−1X[νi]−VarBeta(pi|i,N−i+1)[pi]2f′X(νi)[fX(νi)]3
=νi−(iN+1)(1−iN+1)2(N+2)f′X(νi)[fX(νi)]3
Теперь, специализируясь на нормальном случае, мы имеем
fX(x)=1σϕ(x−μσ)→f′X(x)=−x−μσ3ϕ(x−μσ)=−x−μσ2fX(x)
FX(x)=Φ(x−μσ)⟹F−1X(x)=μ+σΦ−1(x)
Обратите внимание, что И ожидание примерно становится:fX(νi)=1σϕ[Φ−1(iN+1)]
E[xi]≈μ+σΦ−1(iN+1)+(iN+1)(1−iN+1)2(N+2)σΦ−1(iN+1)[ϕ[Φ−1(iN+1)]]2
И наконец:
E[xi]≈μ+σΦ−1(iN+1)⎡⎣⎢⎢1+(iN+1)(1−iN+1)2(N+2)[ϕ[Φ−1(iN+1)]]2⎤⎦⎥⎥
Хотя, как заметил @whuber, это не совсем точно. На самом деле я думаю, что это может быть хуже из-за асимметрии бета-версии с различными параметрами