С точки зрения байесовской вероятности, почему 95% доверительный интервал не содержит истинного параметра с 95% вероятностью?

14

Со страницы Википедии о доверительных интервалах :

... если доверительные интервалы построены по многим отдельным анализам данных повторных (и, возможно, различных) экспериментов, доля таких интервалов, которые содержат истинное значение параметра, будет соответствовать уровню достоверности ...

И с той же страницы:

Доверительный интервал не предсказывает, что истинное значение параметра имеет конкретную вероятность нахождения в доверительном интервале с учетом фактически полученных данных.

Если я правильно понял, это последнее утверждение сделано с частой интерпретацией вероятности. Однако, с точки зрения байесовской вероятности, почему 95% доверительный интервал не содержит истинного параметра с 95% вероятностью? И если это не так, что не так со следующими рассуждениями?

Если у меня есть процесс, который, как я знаю, дает правильный ответ в 95% случаев, тогда вероятность того, что следующий ответ будет правильным, составляет 0,95 (учитывая, что у меня нет никакой дополнительной информации относительно процесса). Точно так же, если кто-то показывает мне доверительный интервал, созданный процессом, который будет содержать истинный параметр 95% времени, я должен быть неправ, говоря, что он содержит истинный параметр с вероятностью 0,95, учитывая то, что я знаю?

Этот вопрос похож, но не совпадает с тем, почему 95% -й ДИ не предполагает 95-процентную вероятность сдерживания среднего значения? Ответы на этот вопрос были сосредоточены на том, почему 95% -й ДИ не подразумевает 95-процентную вероятность сдерживания среднего значения с точки зрения частых. Мой вопрос такой же, но с точки зрения байесовской вероятности.

bayesian confidence-interval

— Расмус Батх
источник

Один из способов думать об этом - 95% -й ДИ - это «среднее значение по долгосрочным показателям». Теперь есть много способов разделить ваши «краткосрочные» случаи, чтобы получить довольно произвольный охват - но при усреднении вы получите 95% в целом. Другой, более абстрактный путь генерации

x_{i} \sim B e r n o u l l i (p_{i})

$x_i\sim Bernoulli (p_i)$ для

i = 1, 2, \dots

$i=1, 2,\dots$ , такие , что

\sum_{i = 1}^{\infty} p_{i} = 0.95

$\sum_{i=1}^{\infty} p_i=0.95$ . Существует бесконечное количество способов сделать это. Здесь

x_{i}

$x_i$ указывает, содержал ли параметр CI, созданный с помощью i-го набора данных, и

p_{i}

$p_i$ - вероятность покрытия для этого случая.

— вероятностная

11

Обновление : с учетом ретроспективного взгляда на несколько лет я написал более сжатую трактовку по существу того же материала в ответ на аналогичный вопрос.

Как построить доверительный регион

Начнем с общего метода построения доверительных областей. Его можно применять к одному параметру, чтобы получить доверительный интервал или набор интервалов; и его можно применять к двум или более параметрам, чтобы получить более высокие размерные доверительные области.

Мы утверждаем, что наблюдаемая статистика $D$ происходит из распределения с параметрами $\theta$ , а именно распределения выборки $s(d|\theta)$ по возможной статистике $d$ , и ищем доверительную область для $\theta$ в наборе возможных значений $\Theta$ . Определить область с наивысшей плотностью (HDR): $h$ -HDR PDF - это наименьшее подмножество его домена, поддерживающее вероятность $h$ . Обозначим $h$ -HDR $s(d|\psi)$ как $H_\psi$ для любого $\psi \in \Theta$ . Тогда $h$ доверительная область для $\theta$ учетом данных $D$ является множеством $C_D = \{ \phi : D \in H_\phi \}$ . Типичное значение $h$ будет 0,95.

Частая интерпретация

Из предыдущего определения доверительной области следует

d \in H_{ψ} ⟷ ψ \in C_{d}

$d \in H_\psi \longleftrightarrow \psi \in C_d$ с

C_{d} = {ϕ : d \in H_{ϕ}}

$C_d = \{ \phi : d \in H_\phi \}$ . Теперь представьте себе большой набор ( воображаемые ) наблюдения

{D_{i}}

$\{D_i\}$ , взятый при аналогичных обстоятельствах

D

$D$ . т.е. они являются образцами из

s (d | θ)

$s(d|\theta)$ . Так как

H_{θ}

$H_\theta$ поддерживает вероятностную массу

h

$h$ PDF

s (d | θ)

$s(d|\theta)$ ,

P (D_{i} \in H_{θ}) = h

$P(D_i \in H_\theta) = h$ для всех

i

$i$ . Следовательно, доля

{D_{i}}

$\{D_i\}$ для которой

D_{i} \in H_{θ}

$D_i \in H_\theta$ равна

h

$h$ . Итак, используя приведенную выше эквивалентность, доля

{D_{i}}

$\{D_i\}$ для которой

θ \in C_{D_{i}}

$\theta \in C_{D_i}$ , также равна

h

$h$ .

Это то, что частое требование для $h$ доверительной области для $\theta$ составляет:

Возьмет большое количество мнимых наблюдений $\{D_i\}$ от выборочного распределения $s(d|\theta)$ , что привело к наблюдаемой статистике $D$ . Тогда $\theta$ лежит в пределах доли $h$ от аналогичных, но мнимых доверительных областей $\{C_{D_i}\}$ .

Поэтому доверительная область $C_D$ не претендует на вероятность того, что $\theta$ где-то лежит! Причина в том, что в этой формулировке нет ничего, что позволяло бы говорить о распределении вероятностей по $\theta$ . Интерпретация просто сложная надстройка, которая не улучшает базу. Основой являются только $s(d | \theta)$ и $D$ , где $\theta$ не отображается как распределенная величина, и мы не можем использовать эту информацию для решения этой проблемы. Есть два основных способа получить распределение по $\theta$ :

Назначьте распределение непосредственно из имеющейся информации: $p(\theta | I)$ .
Отнесите $\theta$ к другой распределенной величине: $p(\theta | I) = \int p(\theta x | I) dx = \int p(\theta | x I) p(x | I) dx$ .

В обоих случаях $\theta$ должен появиться где-то слева. Частые пользователи не могут использовать ни один из этих методов, потому что они оба требуют еретического априора.

Байесовский вид

Максимум, что байесовец может сделать из $h$ доверительной области $C_D$ , заданной без уточнения, - это просто прямая интерпретация: то, что это множество $\phi$ для которого $D$ попадает в $h$ -HDR $H_\phi$ распределения выборки $s(d|\phi)$ . Это не обязательно говорит нам много о $\theta$ , и вот почему.

Вероятность того, что $\theta \in C_D$ , учитывая $D$ и справочную информацию $I$ , равна:

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} p (θ | D I) d θ \\ = \int_{C_{D}} \frac{p (D | θ I) p (θ | I)}{p (D | I)} d θ \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} p(\theta | DI) d\theta \\ &= \int_{C_D} \frac{p(D | \theta I) p(\theta | I)}{p(D | I)} d\theta \end{align*}$ Заметьте, что, в отличие от частотной интерпретации, мы немедленно потребовали распределение по

θ

$\theta$ . Исходная информация, которую

I

$I$ , как и прежде, говорит нам, что распределение выборки

s (d | θ)

$s(d | \theta)$ :

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} \frac{s (D | θ) p (θ | I)}{p (D | I)} d θ \\ = \frac{\int_{C_{D}} s (D | θ) p (θ | I) d θ}{p (D | I)} \\ i.e. P (θ \in C_{D} | D I) & = \frac{\int_{C_{D}} s (D | θ) p (θ | I) d θ}{\int s (D | θ) p (θ | I) d θ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} \frac{s(D | \theta) p(\theta | I)}{p(D | I)} d \theta \\ &= \frac{\int_{C_D} s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta}{p(D | I)} \\ \text{i.e.} \quad\quad P(\theta \in C_D | DI) &= \frac{\int_{C_D} s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta}{\int s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta} \end{align*}$ Теперь это выражение в общем случае не оценивается как

h

$h$ , то есть

h

$h$ доверительная область

C_{D}

$C_D$ не всегда содержит

θ

$\theta$ с вероятностью

h

$h$ . На самом деле это может сильно отличаться от

h

$h$ . Есть, однако, многие распространенные ситуациив которых онделаетоценить в

h

$h$ , поэтому доверительные часто согласуются с нашей вероятностной интуицией.

Например, предположим, что предыдущий объединенный PDF $d$ и $\theta$ является симметричным в том что $p_{d,\theta}(d,\theta | I) = p_{d,\theta}(\theta,d | I)$ . (Понятно, что это предполагает предположение о том, что PDF распространяется на одну и ту же область по $d$ и $\theta$ .) Тогда, если приоритет равен $p(\theta | I) = f(\theta)$ , имеем $s(D | \theta) p(\theta | I) = s(D | \theta) f(\theta) = s(\theta | D) f(D)$ . Следовательно,

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \frac{\int_{C_{D}} s (θ | D) d θ}{\int s (θ | D) d θ} \\ i.e. P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} s (θ | D) d θ \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \frac{\int_{C_D} s(\theta | D) d\theta}{\int s(\theta | D) d\theta} \\ \text{i.e.} \quad\quad P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} s(\theta | D) d\theta \end{align*}$ From the definition of an HDR we know that for any

ψ \in Θ

$\psi \in \Theta$

\begin{aligned} \int_{H_{ψ}} s (d | ψ) d d & = h \\ and therefore that \int_{H_{D}} s (d | D) d d & = h \\ or equivalently \int_{H_{D}} s (θ | D) d θ & = h \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{H_\psi} s(d | \psi) dd &= h \\ \text{and therefore that} \quad\quad \int_{H_D} s(d | D) dd &= h \\ \text{or equivalently} \quad\quad \int_{H_D} s(\theta | D) d\theta &= h \end{align*}$ Therefore, given that

s (d | θ) f (θ) = s (θ | d) f (d)

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ ,

C_{D} = H_{D}

$C_D = H_D$ implies

P (θ \in C_{D} | D I) = h

$P(\theta \in C_D | DI) = h$ . The antecedent satisfies

C_{D} = H_{D} ⟷ \forall ψ [ψ \in C_{D} \leftrightarrow ψ \in H_{D}]

$C_D = H_D \longleftrightarrow \forall \psi \; [ \psi \in C_D \leftrightarrow \psi \in H_D ]$ Applying the equivalence near the top:

C_{D} = H_{D} ⟷ \forall ψ [D \in H_{ψ} \leftrightarrow ψ \in H_{D}]

$C_D = H_D \longleftrightarrow \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$ Thus, the confidence region

C_{D}

$C_D$ contains

θ

$\theta$ with probability

h

$h$ if for all possible values

ψ

$\psi$ of

θ

$\theta$ , the

h

$h$ -HDR of

s (d | ψ)

$s(d | \psi)$ contains

D

$D$ if and only if the

h

$h$ -HDR of

s (d | D)

$s(d | D)$ contains

ψ

$\psi$ .

Now the symmetric relation $D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D$ is satisfied for all $\psi$ when $s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D)$ for all $\delta$ that span the support of $s(d | D)$ and $s(d | \psi)$ . We can therefore form the following argument:

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$
$\forall \psi \; \forall \delta \; [ s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D) ]$ (premise)
$\forall \psi \; \forall \delta \; [ s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D) ] \longrightarrow \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$
$\therefore \quad \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$
$\forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ] \longrightarrow C_D = H_D$
$\therefore \quad C_D = H_D$
$[s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d) \wedge C_D = H_D] \longrightarrow P(\theta \in C_D | DI) = h$
$\therefore \quad P(\theta \in C_D | DI) = h$

Let's apply the argument to a confidence interval on the mean of a 1-D normal distribution $(\mu, \sigma)$ , given a sample mean $\bar{x}$ from $n$ measurements. We have $\theta = \mu$ and $d = \bar{x}$ , so that the sampling distribution is

s (d | θ) = \frac{\sqrt{n}}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{n}{2 σ^{2}} {(d - θ)}^{2}}

$s(d | \theta) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{n}{2 \sigma^2} { \left( d - \theta \right) }^2 }$ Suppose also that we know nothing about

θ

$\theta$ before taking the data (except that it's a location parameter) and therefore assign a uniform prior:

f (θ) = k

$f(\theta) = k$ . Clearly we now have

s (d | θ) f (θ) = s (θ | d) f (d)

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ , so the first premise is satisfied. Let

s (d | θ) = g ((d - θ)^{2})

$s(d | \theta) = g\left( (d - \theta)^2 \right)$ . (i.e. It can be written in that form.) Then

\begin{matrix} s (ψ + δ | ψ) = g ((ψ + δ - ψ)^{2}) = g (δ^{2}) \\ and s (D - δ | D) = g ((D - δ - D)^{2}) = g (δ^{2}) \\ so that \forall ψ \forall δ [s (ψ + δ | ψ) = s (D - δ | D)] \end{matrix}

$\begin{gather*} s(\psi + \delta | \psi) = g \left( (\psi + \delta - \psi)^2 \right) = g(\delta^2) \\ \text{and} \quad\quad s(D - \delta | D) = g \left( (D - \delta - D)^2 \right) = g(\delta^2) \\ \text{so that} \quad\quad \forall \psi \; \forall \delta \; [s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D)] \end{gather*}$ whereupon the second premise is satisfied. Both premises being true, the eight-point argument leads us to conclude that the probability that

θ

$\theta$ lies in the confidence interval

C_{D}

$C_D$ is

h

$h$ !

We therefore have an amusing irony:

The frequentist who assigns the $h$ confidence interval cannot say that $P(\theta \in C_D) = h$ , no matter how innocently uniform $\theta$ looks before incorporating the data.
The Bayesian who would not assign an $h$ confidence interval in that way knows anyhow that $P(\theta \in C_D | DI) = h$ .

Final Remarks

We have identified conditions (i.e. the two premises) under which the $h$ confidence region does indeed yield probability $h$ that $\theta \in C_D$ . A frequentist will baulk at the first premise, because it involves a prior on $\theta$ , and this sort of deal-breaker is inescapable on the route to a probability. But for a Bayesian, it is acceptable---nay, essential. These conditions are sufficient but not necessary, so there are many other circumstances under which the Bayesian $P(\theta \in C_D | DI)$ equals $h$ . Equally though, there are many circumstances in which $P(\theta \in C_D | DI) \ne h$ , especially when the prior information is significant.

We have applied a Bayesian analysis just as a consistent Bayesian would, given the information at hand, including statistics $D$ . But a Bayesian, if he possibly can, will apply his methods to the raw measurements instead---to the $\{x_i\}$ , rather than $\bar{x}$ . Oftentimes, collapsing the raw data into summary statistics $D$ destroys information in the data; and then the summary statistics are incapable of speaking as eloquently as the original data about the parameters $\theta$ .

— CarbonFlambe--Reinstate Monica
источник

Would it be correct to say that a Bayesian is committed to take all the available information into account, while interpretation given in the question ignored D in some sense?

— qbolec

Is it a good mental picture to illustrate the situation: imagine a grayscale image, where intensity of pixel x,y is the joint ppb of real param being y and observed stat being x. In each row y, we mark pixels which have 95% mass of the row. For each observed stat x, we define CI(x) to be the set of rows which have marked pixels in column x. Now, if we choose x,y randomly then CI(x) will contain y iff x,y was marked, and mass of marked pixels is 95% for each y. So, frequentists say that keeping y fixed, chance is 95%, OP says, that not fixing y also gives 95%, and bayesians fix y and don't know

— qbolec

@qbolec It is correct to say that in the Bayesian method one cannot arbitrarily ignore some information while taking account of the rest. Frequentists say that for all

y

$y$ the expectation of

y \in C I (x)

$y \in \mathrm{CI}(x)$ (as a Boolean integer) under the sampling distribution

p r o b (x | y, I)

$\mathrm{prob}(x\, |\, y, I)$ is 0.95. The frequentist 0.95 is not a probability but an expectation.

— CarbonFlambe--Reinstate Monica

6

from a Bayesian probability perspective, why doesn't a 95% confidence interval contain the true parameter with 95% probability?

Two answers to this, the first being less helpful than the second

There are no confidence intervals in Bayesian statistics, so the question doesn't pertain.
In Bayesian statistics, there are however credible intervals, which play a similar role to confidence intervals. If you view priors and posteriors in Bayesian statistics as quantifying the reasonable belief that a parameter takes on certain values, then the answer to your question is yes, a 95% credible interval represents an interval within which a parameter is believed to lie with 95% probability.

If I have a process that I know produces a correct answer 95% of the time then the probability of the next answer being correct is 0.95 (given that I don't have any extra information regarding the process).

yes, the process guesses a right answer with 95% probability

Similarly if someone shows me a confidence interval that is created by a process that will contain the true parameter 95% of the time, should I not be right in saying that it contains the true parameter with 0.95 probability, given what I know?

Just the same as your process, the confidence interval guesses the correct answer with 95% probability. We're back in the world of classical statistics here: before you gather the data you can say there's a 95% probability of randomly gathered data determining the bounds of the confidence interval such that the mean is within the bounds.

With your process, after you've gotten your answer, you can't say based on whatever your guess was, that the true answer is the same as your guess with 95% probability. The guess is either right or wrong.

And just the same as your process, in the confidence interval case, after you've gotten the data and have an actual lower and upper bound, the mean is either within those bounds or it isn't, i.e. the chance of the mean being within those particular bounds is either 1 or 0. (Having skimmed the question you refer to it seems this is covered in much more detail there.)

How to interpret a confidence interval given to you if you subscribe to a Bayesian view of probability.

There are a couple of ways of looking at this

Technically, the confidence interval hasn't been produced using a prior and Bayes theorem, so if you had a prior belief about the parameter concerned, there would be no way you could interpret the confidence interval in the Bayesian framework.
Another widely used and respected interpretation of confidence intervals is that they provide a "plausible range" of values for the parameter (see, e.g., here). This de-emphasises the "repeated experiments" interpretation.

Moreover, under certain circumstances, notably when the prior is uninformative (doesn't tell you anything, e.g. flat), confidence intervals can produce exactly the same interval as a credible interval. In these circumstances, as a Bayesianist you could argue that had you taken the Bayesian route you would have gotten exactly the same results and you could interpret the confidence interval in the same way as a credible interval.

— TooTone
источник

but for sure confidence intervals exist even if I subscribe to a bayesian view of probability, they just wont dissapear, right? :)The situation I was asking about was how to interpret a confidence interval given to you if you subscribe to a Bayesian view of probability.

— Rasmus Bååth

The problem is that confidence intervals aren't produced using a Bayesian methodology. You don't start with a prior. I'll edit the post to add something which might help.

— TooTone

2

I'll give you an extreme example where they are different.

Suppose I create my 95% confidence interval for a parameter $\theta$ as follows. Start by sampling the data. Then generate a random number between $0$ and $1$ . Call this number $u$ . If $u$ is less than $0.95$ then return the interval $(-\infty,\infty)$ . Otherwise return the "null" interval.

Now over continued repititions, 95% of the CIs will be "all numbers" and hence contain the true value. The other 5% contain no values, hence have zero coverage. Overall, this is a useless, but technically correct 95% CI.

The Bayesian credible interval will be either 100% or 0%. Not 95%.

— probabilityislogic
источник

So is it correct to say that before seeing a confidence interval there is a 95% probability that it will contain the true parameter, but for any given confidence interval the probability that it covers the true parameter depends on the data (and our prior)? To be honest, what I'm really struggling with is how useless confidence intervals sounds (credible intervals I like on the other hand) and the fact that I never the less will have to teach them to our students next week... :/

— Rasmus Bååth

This question has some more examples, plus a very good paper comparing the two approaches

— probabilityislogic

1

"from a Bayesian probability perspective, why doesn't a 95% confidence interval contain the true parameter with 95% probability? "

In Bayesian Statistics the parameter is not a unknown value, it is a Distribution. There is no interval containing the "true value", for a Bayesian point of view it does not even make sense. The parameter it's a random variable, you can perfectly know the probability of that value to be between x_inf an x_max if you know the distribuition. It's just a diferent mindset about the parameters, usually Bayesians used the median or average value of the distribuition of the parameter as a "estimate". There is not a confidence interval in Bayesian Statistics, something similar is called credibility interval.

Now from a frequencist point of view, the parameter is a "Fixed Value", not a random variable, can you really obtain probability interval (a 95% one) ? Remember that it's a fixed value not a random variable with a known distribution. Thats why you past the text :"A confidence interval does not predict that the true value of the parameter has a particular probability of being in the confidence interval given the data actually obtained."

The idea of repeating the experience over and over... is not Bayesian reasoning it's a Frequencist one. Imagine a real live experiment that you can only do once in your life time, can you/should you built that confidence interval (from the classical point of view )?.

But... in real life the results could get pretty close ( Bayesian vs Frequencist), maybe thats why It could be confusing.

— blew
источник