Всегда ли существует каноническая функция связи для обобщенной линейной модели (GLM)?

В GLM предполагается скаляр $Y$ и $\theta$ для базового распределения с pdf

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$ Можно показать, что

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$ . Если функция связи

g (\cdot)

$g(\cdot)$ удовлетворяет следующему:

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$ где

X^{'} β

$X'\beta$ - линейный предиктор, то

g (\cdot)

$g(\cdot)$ называется канонической функцией связи для этой модели.

Мой вопрос: всегда ли существует каноническая функция связи для GLM? Другими словами, всегда ли $A'(\theta)$ можно инвертировать? Каковы необходимые условия для существования канонической функции связи?

generalized-linear-model exponential-family

— Вэй
источник

$A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Поскольку дисперсия и параметр дисперсии ненулевые (и даже положительные), является строго возрастающей функцией и должна быть обратимой. $A'(\theta)$

Однако я не уверен, существуют ли распределения этого семейства, которые имеют бесконечную дисперсию. Я не смог найти таких примеров.

— Vainius
источник