Почему

В наборе задач я доказал эту «лемму», результат которой для меня не интуитивен. $Z$ - стандартное нормальное распределение в цензурированной модели.

Формально $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ и $Z = max(Z^*, c)$ . Тогда

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$ Таким образом, существует некоторая связь между формулой ожидания по усеченной области и плотностью в точке усечения

(c)

$(c)$ . Может ли кто-нибудь объяснить интуицию, стоящую за этим?

normal-distribution pdf intuition

— Гейзенберг
источник

Оказалось, что этот способ является следствием того факта, что член

является отрицательным по отношению к производной члена в показателе степени; это один из многих хороших результатов для стандартного нормального, но за ним не обязательно стоит интуиция. С другой стороны, меня совсем не удивило бы, если бы один из умных людей здесь мог придумать какую-то интуицию для этого.

z

$z$

— Glen_b

@Glen_b То , что вы говорите, что

, где

является ПДФОМлюбогонепрерывного распределения

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Это, безусловно, так, и стоит подчеркнуть этот результат, поскольку он имеет прямое отношение к результату в вопросе, но на самом деле в своем комментарии я имел в виду именно тот случай, когда первым из этих терминов является

(так как термин " формула ожидания "была в вопросе, я принял это около

, который является специфическим для нормального.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstate Monica

(по крайней мере, до очевидной мультипликативной константы, об этом условном ожидании). Однако

для этого конкретного

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

, вероятностоит обсудить в ответе.

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b

Ваше последнее редактирование требует доказательства (или интуитивного объяснения) неверного утверждения. Условная плотность

кондиционированной на

является

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

иусловноеожидаемое значение, таким образом, равно

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

а не то, что вы имеете в своем исправленном заголовке.

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Дилип Сарвэйт

Будет ли фундаментальная теорема исчисления работать для вас как интуиция?

Пусть обозначает функцию плотности $\phi(x)$ из стандартной нормальной случайной переменной. Тогда производная $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ . Фундаментальная теорема исчисления дает нам тогда $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$ где второй интеграл получается при подстановке и использовании того факта, что а третий - при условии, что

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$ до

+ x

$+x$

0

$0$

— Дилип Сарватэ
источник