Почему


10

В наборе задач я доказал эту «лемму», результат которой для меня не интуитивен. Z - стандартное нормальное распределение в цензурированной модели.

Формально ZNorm(0,σ2) и Z=max(Z,c) . Тогда

E[Z|Z>c]=cziϕ(zi)dzi=12πcziexp(12zi2)dzi=12πexp(12c2) (Integration by substitution)=ϕ(c)
Таким образом, существует некоторая связь между формулой ожидания по усеченной области и плотностью в точке усечения(c). Может ли кто-нибудь объяснить интуицию, стоящую за этим?

2
Оказалось, что этот способ является следствием того факта, что член является отрицательным по отношению к производной члена в показателе степени; это один из многих хороших результатов для стандартного нормального, но за ним не обязательно стоит интуиция. С другой стороны, меня совсем не удивило бы, если бы один из умных людей здесь мог придумать какую-то интуицию для этого. z
Glen_b

@Glen_b То , что вы говорите, что , где F является ПДФОМлюбогонепрерывного распределения F . c(ddzlog(f(z)))f(z)dz=cf(z)dz=f(c)fF.
whuber

@whuber Это, безусловно, так, и стоит подчеркнуть этот результат, поскольку он имеет прямое отношение к результату в вопросе, но на самом деле в своем комментарии я имел в виду именно тот случай, когда первым из этих терминов является (так как термин " формула ожидания "была в вопросе, я принял это около E ( Z | Z > c ) , который является специфическим для нормального.zE(Z|Z>c)
Glen_b -Reinstate Monica

(по крайней мере, до очевидной мультипликативной константы, об этом условном ожидании). Однако для этого конкретного g = - dE(g(Z)|Z>c), вероятностоит обсудить в ответе. g=ddzlogf
Glen_b

1
Ваше последнее редактирование требует доказательства (или интуитивного объяснения) неверного утверждения. Условная плотность кондиционированной на Z > C является φ ( г )ZN(0,1)Z>c иусловноеожидаемое значение, таким образом, равноE[ZZ>c]= c z ϕ ( z )ϕ(z)1Φ(c)1{z:z>c} а не то, что вы имеете в своем исправленном заголовке.
E[ZZ>c]=czϕ(z)1Φ(c)dz=11Φ(c)czϕ(z)dz
Дилип Сарвэйт

Ответы:


6

Будет ли фундаментальная теорема исчисления работать для вас как интуиция?

Пусть обозначает функцию плотности 1ϕ(x) из стандартной нормальной случайной переменной. Тогда производнаяd12πex2/2. Фундаментальная теорема исчисления дает нам тогда ddxϕ(x)=xϕ(x) где второй интеграл получается при подстановке u = - t и использовании того факта, что ϕ ( - u ) = ϕ ( u ), а третий - при условии, что ϕ ( - x ) = ϕ ( x

ϕ(x)=xtϕ(t)dt=xuϕ(u)du=xuϕ(u)du
u=tϕ(u)=ϕ(u)ϕ(x)=ϕ(x)x+x+xxдо+x0
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.