Получение общей (в пределах класса + между классами) матрицы рассеяния

Я возился с методами PCA и LDA, и я застрял в какой-то момент, у меня такое ощущение, что это так просто, что я не вижу этого.

Матрицы рассеяния внутри класса ( ) и между классами ( ) определяются как: $S_W$ $S_B$

S_{W} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}

$S_W = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i)(x_t^i - \mu_i)^T$

S_{B} = \sum_{i = 1}^{C} N (μ_{i} - μ) (μ_{i} - μ)^{T}

$S_B = \sum_{i=1}^CN(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$

Общая матрица рассеяния имеет вид: $S_T$

S_{T} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} = S_{W} + S_{B}

$S_T = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T = S_W + S_B$

где C - количество классов, а N - количество выборок, - выборки, - среднее значение i класса, - общее среднее значение. $x$ $\mu_i$ $\mu$

Пытаясь вывести я пришел к точке, где у меня было: $S_T$

(x - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x - μ_{i})^{T}

$(x-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T + (\mu_i-\mu)(x-\mu_i)^T$

как термин. Это должно быть ноль, но почему?

В самом деле:

\begin{aligned} S_{T} & = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} \\ = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ)^{T} \\ = S_{W} + S_{B} + \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} [(x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}] \end{aligned}

$\begin{align} S_T &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T \\ &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)^T \\ &= S_W + S_B + \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N\big[(x_t^i - \mu_i)(\mu_i - \mu)^T + (\mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i)^T\big] \end{align}$

discriminant-analysis

— nimcap
источник

The answer is that you are summing the deviations of values around their mean and that sum is zero. But what, precisely, are

x

$x$ ,

m

$m$ , and

m_{i}

$m_i$ ? How are

m

$m$ and

m_{i}

$m_i$ related to

μ

$\mu$ and

μ_{i}

$\mu_i$ ? The quality of answers will depend on how accurately we guess but you're forcing us to do an awful lot of guessing!

— whuber

@whuber: You are totally right, I revised my question.

— nimcap

If you assume

\frac{1}{N} \sum_{t = 1}^{N} x_{t}^{i} = μ_{i}

$\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx_t^{i}=\mu_i$

Then

\sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} = \sum_{i = 1}^{C} (\sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i})) (μ_{i} - μ)^{T} = 0

$\sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T=\sum_{i=1}^C\left(\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)\right)(\mu_i-\mu)^T=0$

and formula holds. You deal with the second term in the similar way.

— mpiktas
источник

(+1) The second term, being the transpose of the first, must also be zero :-).

— whuber

@whuber, yes, that too :)

— mpiktas

Hi,i don't get why the assumption holds?Can someone explain that?

— Mvkt

@Mvkt It is not so much an assumption as the definition of

μ_{i}

$\mu_i$ I suppose. That is to say:

μ_{i}

$\mu_i$ is the mean of the observations in group

i

$i$ . I expect the answer uses 'assume' because the OP doesn't explain the notation, so we have to guess that the group mean is meant by

μ_{i}

$\mu_i$ .

— Vincent