Оценка параметров LogLikelihood для линейного фильтра Калмана Гаусса

Я написал некоторый код, который может выполнять фильтрацию Калмана (используя несколько различных фильтров типа Калмана [Information Filter et al.]) Для линейного анализа пространства состояний Гаусса для n-мерного вектора состояния. Фильтры работают отлично, и я получаю хороший вывод. Тем не менее, оценка параметров с помощью логарифмической вероятности сбивает меня с толку. Я не статистик, а физик, поэтому, пожалуйста, будьте добры.

Рассмотрим линейную модель пространства состояний Гаусса.

$$y_t = \mathbf{Z}_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t},$$ $$\alpha_{t + 1} = \mathbf{T}_{t}\alpha_{t} + \mathbf{R}_{t}\eta_{t},$$

где - наш вектор наблюдения, наш вектор состояния на временном шаге t α t$y_{t}$$\alpha_{t}$$t$ . Величины, выделенные жирным шрифтом, представляют собой матрицы преобразования модели пространства состояний, которые устанавливаются в соответствии с характеристиками рассматриваемой системы. У нас также есть

η t ∼ N I D ( 0 , Q t ) , α 1 ∼ N I D ( a 1 , P 1 )

$$\epsilon_{t} \sim NID(0, \mathbf{H}_{t}),$$ $$\eta_{t} \sim NID(0, \mathbf{Q}_{t}),$$ $$\alpha_{1} \sim NID(a_{1}, \mathbf{P}_{1}).$$

где $t = 1,\ldots, n$ . Теперь я вывел и реализовал рекурсию для фильтра Калмана для этой общей модели пространства состояний, угадав начальные параметры и матрицы отклонений $\mathbf{H}_{1}$ и $\mathbf{Q}_{1}$ я могу создавать графики нравиться

где точки - это уровни воды в реке Нил за январь в течение 100 лет, линия - это оценочное состояние Каламна, а пунктирные линии - уровни достоверности 90%.

Теперь для этого одномерного набора данных матрицы и являются просто скалярами и соответственно. Итак, теперь я хочу получить правильные параметры для этих скаляров, используя выходные данные из фильтра Калмана и функцию логической вероятностиQ t σ ϵ σ $\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

$$\log L(Y_{n}) = -\frac{np}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\sum^{n}_{t = 1}(log|\mathbf{F}_{t}| + v^{\mathsf{T}}_{t}\mathbf{F}_{t}^{-1}v_{t})$$

Где - ошибка состояния, а - дисперсия ошибки состояния. Теперь вот где я запутался. Из фильтра Калмана у меня есть вся информация, необходимая для работы с , но, похоже, это не приближает меня к возможности рассчитать максимальную вероятность и . Мой вопрос заключается в том, как я могу рассчитать максимальную вероятность и используя метод логарифмического правдоподобия и приведенное выше уравнение? Алгоритмический отказ был бы для меня холодным пивом прямо сейчас ...F t L σ ϵ σ η σ ϵ σ η$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Спасибо за ваше время.

---

Заметка. Для одномерного случая и . Это одномерная модель локального уровня.$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

Другими словами, вы можете рассматривать фильтр Калмана как способ вычисления неявной функции и . Единственное, что вам нужно сделать, это упаковать это вычисление в функцию или подпрограмму и обработать эту функцию в подпрограмме оптимизации - как в R. Эта функция должна принимать в качестве входных данных и и return $\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$ .

Некоторые пакеты в R (например dlm) делают это для вас (см., Например, функцию dlmMLE).