Как рассчитать параметр регуляризации в регрессии гребня с учетом степеней свободы и входной матрицы?

Пусть A будет матрицей независимых переменных $n \times p$ а B будет соответствующей матрицей зависимых значений . В конька регрессии, определим параметр так , что: . Теперь давайте [usv] = svd (A) и диагональная запись 's'. мы определяем степени свободы (df) = . Ридж-регрессия сжимает коэффициенты компонентов низкой дисперсии и, следовательно, параметр управляет степенями свободы. Так что дляλ β = ( A T A + λ I ) - 1 A T B d i = i t h ∑ n i = 1 ( d i ) $n \times 1$$\lambda$$\beta=(A^\mathrm{T}A+\lambda I)^{-1}A^\mathrm{T}B$$d_{i}=i^{th}$ λλ=0$\sum_{i=1}^{n} \frac{(d_{i})^2}{(d_{i})^2+\lambda}$$\lambda$$\lambda=0$, что имеет место в случае нормальной регрессии, df = n, и, следовательно, будут рассмотрены все независимые переменные. Проблема, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, чтобы найти значение учетом 'df' и матрицы 's'. Я попытался перестроить вышеприведенное уравнение, но не получил решение в закрытой форме. Пожалуйста, предоставьте любые полезные указатели.$\lambda$

Для этого подходит алгоритм Ньютона-Рафсона / Фишера-Скоринга / Тейлора.

У вас есть уравнение для решения для h ( λ ) = p ∑ i = 1 d 2 $\lambda$ с производной ∂

$$h(\lambda)=\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda}-df=0$$ Тогда вы получите: h(λ)≈h(λ(0))+(λ-λ(0))∂ $$\frac{\partial h}{\partial \lambda}=-\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda)^{2}}$$ $$h(\lambda)\approx h(\lambda^{(0)})+(\lambda-\lambda^{(0)})\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}=0$$

реорганизуя для вы получаете: λ = λ ( 0 ) - [ ∂ $\lambda$

$$\lambda=\lambda^{(0)}-\left[\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}\right]^{-1}h(\lambda^{(0)})$$ $d^{2}_{i}=1$$\lambda^{(0)}=\frac{p-df}{df}$

$$\lambda^{(j+1)}=\lambda^{(j)}+\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda^{(j)})^{2}}\right]^{-1}\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda^{(j)}}-df\right]$$

$\lambda$$\lambda$

Вот небольшой код Matlab, основанный на формуле, доказанной вероятностью:

function [lamda] = calculate_labda(Xnormalised,df)
    [n,p] = size(Xnormalised);   

    %Finding SVD of data
    [u s v]=svd(Xnormalised);
    Di=diag(s);
    Dsq=Di.^2;

    %Newton-rapson method to solve for lamda
    lamdaPrev=(p-df)/df;
    lamdaCur=Inf;%random large value
    diff=lamdaCur-lamdaPrev;   
    threshold=eps(class(XstdArray));    
    while (diff>threshold)          
        numerator=(sum(Dsq ./ (Dsq+lamdaPrev))-df);        
        denominator=sum(Dsq./((Dsq+lamdaPrev).^2));        
        lamdaCur=lamdaPrev+(numerator/denominator);        
        diff=lamdaCur-lamdaPrev;        
        lamdaPrev=lamdaCur;        
    end
    lamda=lamdaCur;
end