Какова вероятность того, что нормальное распределение с бесконечной дисперсией имеет значение, превышающее его среднее значение?

13

Сегодня меня спросили, что-то похожее на это.

Интервьюер хотел знать, какова вероятность того, что опцион «при деньгах» окажется в деньгах, когда волатильность стремится к бесконечности.

Я сказал 0%, потому что нормальные распределения, которые лежат в основе модели Блэка-Шоулза и гипотезы случайного блуждания, будут иметь бесконечную дисперсию. И поэтому я решил, что вероятность всех значений будет равна нулю.

Мой интервьюер сказал, что правильный ответ - 50%, потому что нормальное распределение все еще будет симметричным и почти равномерным. Поэтому, когда вы интегрируете от среднего до + бесконечности, вы получите 50%.

Я все еще не убежден в его рассуждениях.

Кто прав?

normal-distribution variance

— louzer
источник

На самом деле существует (слабый) предел нормальных распределений при увеличении дисперсии до бесконечности. Он включает в себя запрещенный бесконечно малый 1 / Aleph (0). Вы можете прочитать мою статью о бесконечно малых в Research Gate или в Academia. Напечатайте "H. Tomasz Grzybowski" в Google, перейдите на страницу Research Gate с моими статьями, нажмите "Вклады" и найдите его.

— Х. Томаш Гржибовски,

1

Добро пожаловать на наш сайт, @ H.TomaszGrzybowski. Я преобразовал ваше сообщение в комментарий, потому что знал, что вы еще не набрали репутацию, чтобы создать комментарий, но на самом деле он не отвечает на вопрос и поэтому не может оставаться в качестве ответа. Было бы интересно прочитать решение этой проблемы, основанное на вашей идее о бесконечно малых и слабом пределе. Вы до сих пор приходим к значению

или же найти значение не определено?

1 / 2

$1/2$

— whuber

13

Ни одна из форм рассуждений не является математически строгой - не существует такого понятия, как нормальное распределение с бесконечной дисперсией, и нет предельного распределения по мере увеличения дисперсии - поэтому давайте будем немного осторожнее.

Предполагается, что в модели Блэка-Шоулза логарифм базового актива подвергается случайному обходу. Проблема эквивалентна задаче «какова вероятность того, что стоимость актива (log) на дату истечения срока превысит его текущую (log) стоимость?» Разрешение увеличения волатильности без ограничения эквивалентно разрешению даты истечения срока без ограничения. Таким образом, ответ должен быть таким же, как вопрос: «Каков предел, при , что значение случайного блуждания в момент времени больше, чем его значение в момент времени ?» По симметрии (с обменом всплесков и падений) (и отмечая, что в непрерывной модели вероятность быть за деньги равна ), эти вероятности равны $t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ $1/2$ любому $t \gt 0$ , откуда их предел действительно существует и равен . $1/2$

— Whuber
источник

6

+1 Короче говоря, физические рассуждения: два возможных результата, совершенно симметричные и вероятности всех возможных результатов должны быть суммированы до 1 - единственный ответ может быть 1/2 (-;

7

Рассмотрим последовательность нормальных случайных величин со средним значением и SD $X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$ .

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$ .

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$ , что дает нам ответ.

Интуитивно, вместо создания нормального распределения с бесконечной дисперсией, вы должны представить себе распределение с конечной дисперсией и работать с его пределами.

— Браво
источник

-2

Вы должны проводить анализ на основе нормального распределения журнала, а не нормального. Ваш интервьюер не прав, когда утверждает, что распределение симметрично. Это никогда не будет, независимо от дисперсии. Вам также нужно различать изменчивость и то, что вы называете бесконечной дисперсией. Например, цена акций не имеет верхнего предела, поэтому она имеет «бесконечную дисперсию».

— Ральф Винтерс
источник

2

Правильно, что логнормальное распределение вовлечено, но нет необходимости вызывать его, как показывает мой ответ. Основное нормальное распределение , конечно, симметрично. Тот факт, что цена акций (или что-либо еще) не имеет верхнего предела, не означает, что их распределение имеет бесконечную дисперсию. Кстати, в теории Блэка-Шоулза волатильность действительно является параметром дисперсии (для распределения логарифмов).

— whuber

мы рассматриваем вариант, а не акции.

— Wok

@ Wok Верно, но теория зависит от распределения цен на активы (акции). Распределение значений параметров не является ни нормальным, ни логнормальным.

— whuber