Как сгенерировать равномерно распределенные точки в шаре 3-го блока?

Я разместил предыдущий вопрос , это связано, но я думаю, что лучше начать другую тему. На этот раз мне интересно, как создать равномерно распределенные точки внутри сферы 3-х единиц и как проверить распределение визуально и статистически? Я не вижу размещенных там стратегий, которые можно напрямую перенести на эту ситуацию.

random-generation

— Цян Ли
источник

Методы предыдущего вопроса применяются непосредственно, как только вы заметите, что количество точек на расстоянии от начала координат должно быть пропорционально . Таким образом, если вы генерируете независимую равномерную переменную в вместе с точкой на поверхности сферы, то масштабирование помощью делает свое дело.

r

$r$

r^{3}

$r^3$

u

$u$

[0, 1]

$[0,1]$

w

$w$

w

$w$

u^{1 / 3}

$u^{1/3}$

— whuber

@whuber: может быть, я просто не понял суть предыдущих методов. Позвольте мне попробовать то, что вы описали. Кроме того, каковы способы проверки однородности здесь снова?

— Цян Ли

K-функция @Qiang Ripley и критерий хи-квадрат. Вы также можете проверить равномерность радиальной проекции точек на поверхности сферы, однородность куба по длинам точек и независимость этих двух.

— whuber

Для меня не так очевидно, что означает «равномерно распределенный» ... И, вероятно, попытка определить его автоматически создаст генерирующий алгоритм (=

@mbq, я думаю, чтобы определить термин, нам нужно иметь pdf-файл .

f_{R, Θ, Φ} (r, θ, ϕ) = r^{2}

$f_{R, \Theta, \Phi}(r,\theta, \phi)=r^2$

— Цян Ли

Ответы:

Самый простой способ - равномерно выбрать точки в соответствующем гиперкубе и отбросить те, которые не лежат в сфере. В 3D это не должно случаться так часто, примерно в 50% случаев. (Объем гиперкуба равен 1, объем сферы равен ) $\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

— bayerj
источник

+1. Это одна из методик, рекомендованных в разделе часто задаваемых вопросов comp.graphics.algorithms "Однородные случайные точки на сфере".

— Дэвид Кэри

Что если мы хотим сделать это для ?

n > 100

$n > 100$

— Аресы

Это называется «метод отказа». Работая хорошо в трех измерениях, в двадцати семи измерениях, только одна из триллиона точек лежит в 27 шарах, а не в остальной части 27 кубов, поэтому метод отбрасывания плохо обобщается. Я упоминаю об этом, потому что в настоящее время мне нужны образцы равномерно в шаре 2440 размеров.

— Reb.Cabin

Вы также можете сделать это в сферических координатах, в этом случае нет отклонения. Сначала вы случайным образом генерируете радиус и два угла, а затем используете формулу перехода для восстановления , и ( , , ). $x$ $y$ $z$ $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$

Вы генерируете равномерно между и . Радиус и угол наклона не одинаковы. Вероятность того, что точка находится внутри шара радиуса равна поэтому функция плотности вероятности равна . Вы можете легко проверить, что кубический корень равномерной переменной имеет точно такое же распределение, поэтому вы можете сгенерировать . Вероятность того, что точка находится в сферическом конусе, определенном наклоном равна или если $\phi$ $0$ $2\pi$ $r$ $\theta$ $r$ $r^3$ $r$ $3 r^2$ $r$ $\theta$ $(1-\cos\theta)/2$ $1 - (1-\cos (-\theta))/2$ $\theta > \pi/2$ . Таким образом, плотность есть . Вы можете проверить, что минус арккосин равномерной переменной имеет правильную плотность. $\theta$ $sin(\theta)/2$

Или, проще говоря, мы можем смоделировать косинус равномерно beteen и . $\theta$ $-1$ $1$

В R это будет выглядеть так, как показано ниже.

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

В процессе написания и редактирования этого ответа я понял, что решение менее тривиально, чем я думал.

Я думаю, что самый простой и эффективный в вычислительном отношении метод - это следовать методу @ whuber для генерации на единичной сфере, как показано в этом посте, и масштабировать их с помощью . $(x,y,z)$ $r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

— gui11aume
источник

Это гораздо лучший ответ из-за отсутствия отказа. В пространствах с большим размером выборка отбраковки может быть очень дорогой из-за низкой вероятности принятия.

— kingledion

Например, последний бит кода может быть адаптирован к более высокой размерности d. Для этого замените все экземпляры 3на d.

— gui11aume

$P$ $P = N/||N|| * U^{1/n}$ $N$ $U$ $[0,1]$ $1/n$ $n$

И вуаля!

— Жан-Люк Бушо
источник

Равномерно распределенный радиус не даст равномерной точки в шаре ...

— kjetil b halvorsen

U

$U$