Несмещенная оценка для меньшей из двух случайных величин

13

Предположим, что $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ и $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

$z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

Простая оценка где и являются примерами средних значений и , например, смещена (хотя и непротиворечива). Это имеет тенденцию к недоразвитию . $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

Я не могу думать о непредвзятой оценке для . Один существует? $z$

Спасибо за любую помощь.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
источник

8

Это всего лишь пара комментариев, а не ответ (не хватает точки респ.).

(1). Здесь есть явная формула для смещения простой оценки здесь: $min(\bar{x},\bar{y})$

Кларк, CE 1961, март-апр. Наибольшее из конечного набора случайных величин. Исследование операций 9 (2): 145–162.

Не уверен, как это помогает, хотя

(2). Это просто интуиция, но я думаю, что такой оценки не существует. Если есть такая оценка, она также должна быть беспристрастной, когда . Таким образом, любое «понижение», которое делает оценку меньше, чем, скажем, средневзвешенное значение для двух выборочных средств, делает оценку смещенной для этого случая. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Или цук
источник

1

возможно, любая коррекция может в итоге иметь нулевое значение для этого случая.

— кардинал

Однако, чтобы уточнить, я не утверждаю, что считаю, что существует объективная оценка. На самом деле, я согласен, что, вероятно , нет .

— кардинал

1

Да согласен - это просто интуиция. В следующей статье приведены условия существования несмещенной оценки для функции одномерного среднего гауссовского значения - возможно, можно расширить до многомерного: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— или Zuk

Зная, что предвзятость может помочь, вы можете исправить ее, чтобы получить объективную оценку. Я на самом деле пошел по этому пути, но вычисление точного смещения требует, чтобы у вас были

и

- а у нас их нет. Поэтому, естественно, я попытался использовать образец среднего вместо того, чтобы посмотреть, что произойдет. Похоже, это не поможет. В симуляциях исправленная оценка также демонстрирует смещение. Я склоняюсь к объективной оценке, которой не существует, но я не нашел для этого веских доказательств.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— Pazam

5

Вы правы в том, что объективной оценки не существует. Проблема в том, что интересующий параметр не является гладкой функцией основного распределения данных из-за при . $\mu_x=\mu_y$

Доказательство состоит в следующем. Пусть - несмещенная оценка. Тогда . Левая часть дифференцируема всюду относительно и (дифференцировать под знаком интеграла). Однако правая часть не дифференцируема при $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , что приводит к противоречию.

Хирано и Портер имеют общее доказательство в предстоящей работе эконометрики (см. Их предложение 1). Вот рабочая версия документа:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
источник

Очень хорошо! Спасибо, что ответили на этот вопрос.

— whuber

1

Существует оценка для минимума (или максимума) набора чисел для данной выборки. См. Laurens de Haan, «Оценка минимума функции с использованием статистики порядка», JASM, 76 (374), июнь 1981, 467-469.

— Ян Галковски
источник

К сожалению, я не думаю, что статья, на которую вы ссылаетесь, решает эту проблему. В статье рассматриваются случаи, когда у вас есть набор нестохастических переменных A и поиск наименьшего элемента в A с помощью выборки. В контексте этой проблемы каждый элемент в A будет случайной величиной, и в этом заключается кикер. Вы должны найти объективную оценку среднего значения наименьшей случайной величины в A.

— pazam

0

Я был бы вполне уверен, что объективной оценки не существует. Но беспристрастные оценки не существуют для большинства величин, и в первую очередь беспристрастность не является особенно желательным свойством. Почему вы хотите один здесь?

Y

$Y$

Y

$Y$