Как можно показать, что не существует несмещенной оценки

Предположим, что $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ являются случайными переменными, которые следуют за распределением Пуассона со средним $\lambda$ . Как я могу доказать, что нет объективной оценки количества $\dfrac{1}{\lambda}$ ?

— billlee1231
источник

Я полагаю, вы имеете в виду, "лямбда?" В любом случае, это не подходит для МО.

Это для какой-то темы? Это похоже на довольно стандартное учебное упражнение. Пожалуйста, проверьте self-studyтег и его информацию вики и добавьте тег (или, пожалуйста, укажите, как еще возникает такой вопрос). Обратите внимание, что такие вопросы, хотя и приветствуются, накладывают на вас некоторые требования (и ограничения на нас). Что вы пробовали?

— Glen_b

Вы должны быть в состоянии использовать аргумент, аналогичный приведенному здесь .

— Glen_b

Предположим, что является несмещенной оценкой , то есть $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$ Тогда умножая на и вызывая ряд Маклаурина от мы можем записать равенство в виде

\underset{({Икс}_{0}, ..., {Икс}_{N}) \in N_{0}^{N + 1}}{Σ} грамм ({Икс}_{0}, ..., {Икс}_{N}) \frac{λ^{Σ_{я знак равно 0}^{N} {Икс}_{я}}}{Π_{я знак равно 0}^{N} {Икс}_{я}!} е^{- (N + 1) λ} знак равно \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

где мы имеем равенство двух степенных рядов, один из которых имеет постоянный член (правая часть), а другой нет: противоречие. Таким образом, не существует объективной оценки.

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, \dots, x_{n})}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} λ^{1 + \sum_{i = 0}^{n} x_{i}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + \dots, \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$

— Дж. Вирта
источник