Почему распределение rand () ^ 2 отличается от rand () * rand ()?

В Libre Office Calc rand()доступна функция, которая выбирает случайное значение от 0 до 1 из равномерного распределения. Я немного заржавел в своей вероятности, поэтому, когда я увидел следующее поведение, я был озадачен:

A = 200x1 столбец rand()^2

B = 200x1 столбец rand()*rand()

mean(A) знак равно 1/3

mean(B) знак равно 1/4

Почему mean(A)! = 1/4?

expected-value random-generation uniform

— Jefftopia
источник

Потому что ожидание квадрата случайной величины не равно квадрату ее ожидания.

— Майкл М

Если rand()работает как другие подобные операторы, то A - это то же самое случайное число в квадрате, а B - это два умноженных случайных числа.

— Питер Флом - Восстановить Монику

Я понимаю. Было бы очень полезно, хотя, если бы я мог видеть математику, изложенную или связанную с ресурсом, который делает это.

— Jefftopia

Упрощение ситуации может помочь вам понять суть. Предположим, Rand()были заменены Int(2*Rand()): это принимает значения

с равными вероятностями. Есть две возможности для его квадрата и четыре возможности для произведения двух (независимых) значений: что происходит, когда вы определяете их ожидания?

0

$0$

1

$1$

— whuber

Ответы:

Может быть полезно подумать о прямоугольниках. Представьте, что у вас есть шанс получить землю бесплатно. Размер земли будет определяться (а) одной реализацией случайной величины или (б) двумя реализациями одной и той же случайной величины. В первом случае (а) площадь будет квадратом с длиной стороны, равной выбранному значению. Во втором случае (b) два выбранных значения будут представлять ширину и длину прямоугольника. Какую альтернативу вы выбираете?

Пусть - реализация положительной случайной величины. $\mathbf{U}$

а) Ожидаемое значение одной реализации определяет площадь квадрата, которая равна . В среднем размер области будет $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

б) Если есть две независимые реализации и , площадь будет . В среднем размер равен поскольку обе реализации имеют одинаковое распределение и независимы. $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Когда мы вычисляем разницу между размерами областей а) и б), мы получаем

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

Это верно для общего случая.

$\mathcal{U}(0,1)$

E [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Эти значения были получены аналитически, но они совпадают с теми, которые вы получили с генератором случайных чисел.

— Свен Хоэнштейн
источник

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

Это умное использование дисперсии. И вот тут я уже собирался навести математику напрямую.

— Affine

Это имеет смысл для меня. Все зависит от того, что дисперсия неотрицательна. Мне также любопытно, как Джон получил свой ответ.

— Джеффтопия

В основном просто следовал тому, что сделал Свен, но заменил их формулами для более общего равномерного распределения.

— Джон

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Не для того, чтобы предположить, что в превосходном ответе Свена чего-то не хватает, но я хотел представить относительно элементарный взгляд на вопрос.

Рассмотрите возможность составления двух компонентов каждого продукта, чтобы увидеть, что совместное распределение сильно отличается.

сюжет u1 против u2 и u1 против u1

Обратите внимание, что продукт имеет тенденцию быть большим (около 1), когда оба компонента велики, что происходит гораздо легче, когда два компонента идеально коррелированы, а не независимы.

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$

Большая разница!

Это может помочь нарисовать контуры изопродукта на графиках, подобных приведенным выше, то есть на кривых, где xy = константа для значений, таких как 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. При переходе к все большим и большим значениям доля точек выше и справа от контура уменьшается гораздо быстрее для независимого случая.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник