Я хочу показать

10

Пусть - случайная величина на вероятностном пространстве Покажите, что $X:\Omega \to \mathbb N$ $(\Omega,\mathcal B,P)$

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

мое определение из равно $E(X)$

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Спасибо.

probability self-study expected-value

— Pual Ambagher
источник

Хм, может быть, вы хотите добавить это ... нет?

X \geq 0

$X\geq 0$

— Стат

@Stat: нет, . естественно. Пусть всегда равно 2. .

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— января

ой, не видел !

N

$N$

— Стат

1

Утверждение (слегка) неверно: поскольку содержит , суммирование должно начинаться с а не с .

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber Нет, сумма должна начинаться с (попробуйте случай, когда ).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— сделал

12

Определение для дискретного : . $E(X)$ $X$ $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

п (Икс \geq я) знак равно п (Икс знак равно я) + п (Икс знак равно я + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

Так

\begin{aligned} \underset{я}{Σ} п (Икс \geq я) знак равно п (Икс \geq 1) + п (Икс \geq 2) + \dots \\ знак равно & п (Икс знак равно 1) + п (Икс знак равно 2) + п (Икс знак равно 3) + \dots + п (Икс знак равно 2) + п (Икс знак равно 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(мы переставляем термины в последнем выражении)

\begin{aligned} знак равно 1 \cdot п (Икс знак равно 1) + 2 \cdot п (Икс знак равно 2) + 3 \cdot п (Икс знак равно 3) + \dots \\ знак равно \underset{я}{Σ} я \cdot п (Икс знак равно я) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

QED

— январь
источник

4

Вы должны предоставить полезные советы для тегов самостоятельного изучения, а не полный ответ. Лучше не решать свои задания :)

— Стат

1

Вам не нужно объяснять, почему вы можете переупорядочить сумму? это было бы важно, если вы ищете строгую демонстрацию.

— Мануэль

@ January.в вопросе

случайная величина, не говоря уже о

дискретном или непрерывном.

X

$X$

X

$X$

— Pual Ambagher

1

Pual, да, вы указали, что

является дискретным в самой первой строке: «дискретный» (в самом широком смысле) означает, что существует счетное подмножество диапазона переменной, для которого она имеет вероятность

; и поскольку

счетно, ваш

должен быть дискретным.

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

— whuber

@ whuber.Я согласен и получил это. И спасибо от всех.

— Pual Ambagher

11

Мне нравится январский ответ. Могу ли я предложить способ записать серию так, чтобы глаз более легко улавливал перегруппировку (именно так мне нравится писать на доске)? (Перестановка математически обоснована, потому что этосерия положительных терминов.)

\begin{array}{rcl} Σ_{К знак равно 1}^{\infty} п (Икс \geq К) & знак равно & п (Икс \geq 1) знак равно п (Икс знак равно 1) & + & п (Икс знак равно 2) & + & п (Икс знак равно 3) & + & ... \\ + & п (Икс \geq 2) & + & п (Икс знак равно 2) & + & п (Икс знак равно 3) & + & ... \\ + & п (Икс \geq 3) & + & п (Икс знак равно 3) & + & ... \\ + & ... & + & ... \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— Zen
источник

Вы предполагаете, что X дискретен?

— BCLC

@BCLC, формула работает только тогда, когда X может принимать положительные целые числа. Действительно, для, скажем, стандартного равномерного распределения это дает 1, тогда как ответ равен 1/2. Или, даже в дискретный случай давайте рассмотрим две точки распространения

: формула дает 0, тогда как среднее значение равно 3/8.

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— Артем Соболев

3

Я думаю, что стандартный способ сделать это, написав

Икс знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} 1 (Икс \geq N)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

Е (Икс) знак равно Е (Σ_{N знак равно 1}^{\infty} 1 (Икс \geq N))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

а затем обратный порядок ожидания и суммы (по теореме Тонелли)

— seanv507
источник

Интересно. Правильно ли говорить, что это НЕ предполагает, что

дискретен? : O

X

$X$

— BCLC

1

@BCLC Первая строка верна, только если X - натуральное число, поэтому оно не является правильным ....

— seanv507

1

Один из других превосходных ответов здесь (из seanv507 ) отметил, что это правило ожидания фактически следует из более сильного результата, который выражает лежащую в основе случайную переменную в виде бесконечной суммы индикаторных переменных. Можно доказать более общий результат, и это можно использовать для получения правила ожидания в вопросе. Если $X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$ (поэтому его поддержка не шире натуральных чисел), то можно показать (доказательство ниже), что:

Икс знак равно Σ_{N знак равно 1}^{Максимум (Икс, м)} я (Икс ⩾ N) для всех м \in N,

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Взятие дает полезный результат: $m \rightarrow \infty$

Икс знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} я (Икс ⩾ N),

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Стоит отметить, что этот результат сильнее, чем правило ожидания в вопросе, так как он дает разложение для основной случайной величины, а не только ее момент. Как отмечено в другом ответе, взятие ожиданий обеих сторон этого уравнения и применение теоремы Тонелли (чтобы поменять местами операторы сумм и ожиданий) дает правило ожидания в вопросе. Это стандартное правило ожидания, которое используется при работе с неотрицательными случайными переменными.

Приведенный выше результат может быть доказан довольно просто. Начните с наблюдения, что:

Икс знак равно \underset{Икс раз}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{счетные времена}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}},

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Поэтому для любого мы имеем: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} Икс & знак равно \underset{Икс раз}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{Максимум (0, м - Икс) раз}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ знак равно Σ_{N знак равно 1}^{Икс} я (Икс ⩾ N) + Σ_{N знак равно 1}^{Максимум (0, м - Икс)} я (Икс ⩾ Икс + N) \\ знак равно Σ_{N знак равно 1}^{Икс} я (Икс ⩾ N) + Σ_{N знак равно Икс + 1}^{Максимум (Икс, м)} я (Икс ⩾ N) \\ знак равно Σ_{N знак равно 1}^{Максимум (Икс, м)} я (Икс ⩾ N), \end{aligned},

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Бен - Восстановить Монику
источник