Необходимое и достаточное условие совместной МГФ для независимости

Предположим, у меня есть совместная функция, генерирующая момент для совместного распределения с CDF . Является ли необходимым и достаточным условием независимости и ? Я проверил пару учебников, в которых упоминалась только необходимость: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Этот результат очевиден, поскольку независимость подразумевает . Так как MGF маргиналов определяются совместным MGF, мы имеем: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Но после поиска в Интернете я нашел только мимолетную ссылку, без доказательств, на обратное . Является ли следующий эскиз доказательства работоспособным?

Учитывая объединенную MGF , это однозначно определяет предельные распределения и и их MGF, и . Только маргиналы совместимы со многими другими возможными совместными распределениями и однозначно определяют совместное распределение, в котором и независимы, с CDF и MGF: $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Поэтому, если нам дано для нашего исходного MGF, что , это достаточно показать . Тогда в силу уникальности MGF наше оригинальное совместное распределение имеет и и независимы. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— тарпон
источник

Да, это необходимое и достаточное условие независимости не только для двух случайных переменных, но и для (конечной) последовательности случайных величин. Посмотрите, например, стр.22 на странице 242 « Вероятность со статистическими приложениями» Ринальдо Б. Скинази. Или на странице 259 Эконометрического анализа данных подсчета , основанного на функции, генерирующей вероятность. Просто отметьте, что «функция, генерирующая момент, не всегда существует».

— Stat
источник

Спасибо за убедительные ссылки. Да, с осторожностью заявлял, что оригинальный MGF был дан в начале, и пытался не забыть продемонстрировать, что любой другой MGF, о котором я говорил, существовал как следствие, прежде чем я что-то сделал с ним! Какие стратегии доказательства были использованы в ваших рефери?

— Серебряная рыба

Вы читали абзац сразу после P2 в моей первой ссылке?

— Стат

Ах да - это расширение предложенного мной доказательства на векторы. Сравнить MGF данного распределения с MGF были независимыми компонентами; поскольку они одинаковы и MGF однозначно определяют совместное распределение, совместное распределение является независимым.

— Серебряная рыба