Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает фиксированную точку

11

Я нахожусь во вводном классе статистики, в котором функция плотности вероятности для непрерывных случайных величин была определена как . Я понимаю, что интеграл от но я не могу исправить это своей интуицией непрерывной случайной величины. Скажем, X является случайной величиной, равной количеству минут от времени t, когда поезд прибывает. Как рассчитать вероятность того, что поезд прибудет ровно через 5 минут? Как эта вероятность может быть нулевой? Разве это не возможно? Что делать , если поезд делает прибыть ровно 5 минут с этого времени, как это могло произойти , если она была вероятность 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Спасибо.

— geofflittle
источник

2

Стоит ответить на некоторые из этих вопросов на их голове. Например , если ваша интуиция говорит, что каждое возможное время должно иметь какую-то строго положительную вероятность, тогда - поскольку существует бесчисленное множество возможных времен в любом интервале - ваша интуиция подразумевает, что полная вероятность бесконечна. Очевидно, что интуиция не так. Одна вещь, от которой нужно отказаться, это идея, что нулевая вероятность подразумевает невозможность: это неправда. Точно так же вероятность одного не подразумевает определенности.

— whuber

@whuber Это то, что я не могу исправить. Если вероятность происходящего события равна 0, то оно никогда не должно происходить. Например, если у меня есть стандартный шестигранный кубик, вероятность того, что я брошу любое число равна 0 и, следовательно, будет никогда не случится. Кроме того, как событие с вероятностью 1 не может быть достоверным в последующем эксперименте? Не могли бы вы привести пример?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— Geofflittle

1

Предположим, вы видите круг, в котором показан аккорд, и он кажется диаметром, что заставляет задуматься: «Каков был шанс, что случайно выбранный аккорд не был бы диаметром?» Когда аккорд получен путем выбора пары точек равномерно и независимо по окружности, ответ равен , но это событие не произошло. Это дает (довольно убедительные!) Доказательства того, что аккорд не был результатом случайного процесса, который вы изложили. Один урок, который дают такие мысленные эксперименты, состоит в том, что интуиции, основанные на конечных вероятностных пространствах, не всегда обобщают.

1

$1$

— whuber

8

Вы можете оказаться в ловушке, считая, что «пять минут спустя» будут длиться некоторый конечный период времени (который будет иметь ненулевую вероятность).

«Через пять минут» в смысле непрерывной переменной действительно мгновенно.

Представьте, что прибытие следующего поезда равномерно распределено между 8:00 и 8:15. Далее представьте, что мы определяем прибытие поезда как происходящее в тот момент, когда передняя часть поезда проходит определенную точку на станции (возможно, среднюю точку платформы, если нет лучшего ориентира). Рассмотрим следующую последовательность вероятностей:

а) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и 8:10

б) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и 8:06

в) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05:00 и 8:05:01

d) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05:00 и 8: 05: 00.01 (то есть с интервалом в одну сотую секунды

e) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и одной миллиардной секунды позже

f) вероятность того, что поезд прибудет между 8:05 и одной квадриллионной секундой позже

... и так далее

Вероятность того, что он прибудет точно в 8:05, является предельным значением последовательности вероятностей, подобной этой. Вероятность меньше, чем каждый . $\epsilon>0$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Я понимаю это, но, предполагая, что поезд прибывает, он прибывает в некоторый момент времени. Почему этот предел не может сходиться к некоторой вероятности?

— Geofflittle

Если вы понимаете это, как вы говорите, вы можете вычислить вероятность указанным способом. Позвольте мне сделать это проще: представьте для удобства расчета, что точное время, в которое поезд «прибывает» (как бы мы его ни определяли, если оно действительно непрерывно) в равномерно распределенное время на интервале (0,1) (при любых это удобная единица времени). Какова вероятность того, что поезд прибудет раньше времени для некоторого внутри интервала? Какова вероятность того, что он прибудет после времени ? Какова вероятность того, что он окажется между и ? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b

(СТД) ... Для того, чтобы сказать , что «приходит во время » для непрерывных переменного, означает «то , что является пределом этой последней вероятности как . Итак, что же это предел? Работа это! То есть вероятность, к которой он сходится. Эта особенность тесно связана с тем, что делает непрерывный PDF непрерывным.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Восстановить Монику

Также обратите внимание, что если этот последний предел не равен нулю, ваши три вероятности (до , после и "at" ) не

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— прибавятся

5

Что если поезд прибудет ровно через 5 минут, как это могло произойти, если бы у него была вероятность 0?

Вероятностное утверждение не является утверждением о возможности / осуществимости события. Это только отражает нашу попытку количественно оценить нашу неуверенность в том, что это происходит. Таким образом, когда явление является непрерывным (или моделируется как единое целое), тогда наши инструменты и текущее состояние знаний не позволяют нам делать вероятностное утверждение о том, что оно принимает определенную ценность . Мы можем только сделать такое заявление, связанное с диапазономценностей. Конечно, обычная уловка здесь состоит в том, чтобы дискретизировать поддержку, рассматривать «маленькие» интервалы значений, а не отдельные значения. Поскольку непрерывные случайные величины приносят большую пользу и гибкость по сравнению с дискретными случайными переменными, оказалось, что это довольно небольшая цена, возможно, такая же малая, как интервалы, которые мы вынуждены учитывать.

— Алекос Пападопулос
источник

Эти заявления озадачивают, возможно, потому, что их можно было бы интерпретировать по-разному. В некоторых местах вы, похоже, отрицаете обоснованность использования непрерывных распределений для моделирования явлений - и проводите резкое различие между явлением и моделью - а в других местах вы, кажется, вообще отбрасываете это различие. Мое прочтение, которое, как я подозреваю, не предполагалось, заключается в том, что вы утверждаете, что математический факт, что для любого непрерывного RV , в действительности всегда ложен, но из-за этого кажется, что вы отрицаете применимость теории вероятностей!

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

— whuber

2

Привет, @whuber. Что касается различия между моделью и явлением, карта земли - это не земля, но она может помочь вам бродить по земле. Вот как я думаю о моделях, когда я не отношусь к ним как к объектам чистого интеллектуального удовольствия (которым они также являются). Что касается вопроса «нулевой вероятности», то это несовершенство - в конце концов, разве не было бы здорово иметь все преимущества непрерывности и быть в состоянии сделать вероятностное утверждение об одном значении? Но несовершенство, конечно, не делает что-то неприменимым, и, как я пишу, это несовершенство оказалось малозначимым.

— Алекос Пападопулос

Вы неявно предполагаете, что вероятность - это некая объективная вещь в вашей картографической аналогии, но это не так. Вероятность имеет значение только внутри модели. Я не вижу «несовершенств» в аксиомах вероятности, и действительно, можно сделать точные, последовательные утверждения о вероятностях единичных значений: часто они равны нулю.

— whuber

2

@whuber Нет, я так не думаю, и я не понимаю, где ты это увидел в том, что я написал. Я сказал «карта не земля», что означает «то, что в модели не существует в реальности», так как вы можете сделать из этого совершенно противоположное? «Несовершенство» относится не к аксиомам вероятности, а к тому, к каким инструментам эти аксиомы ведут нас, и к тому, насколько эффективно эти инструменты можно использовать для моделирования, изучения и понимания реального мира. И очевидно, что я считаю, что вероятность является эффективным инструментом.

— Алекос Пападопулос

4

Чтобы дать вам некоторое представление об этом, попробуйте следующий (мысленный) эксперимент:

Нарисуйте реальную линию вокруг нуля с помощью линейки. Теперь возьмите острый дротик и дайте ему случайным образом упасть сверху на линию (предположим, что вы всегда попадете на линию, и только аргумент в пользу бокового положения имеет значение).

Сколько бы раз вы ни позволили дротику случайно упасть на линию, вы никогда не достигнете нулевой точки. Зачем? Подумайте, что такое точка ноль, подумайте, какова его ширина. И после того, как вы узнаете, что его ширина равна 0, вы все еще думаете, что можете поразить его?

Сможете ли вы достичь точки 1 или -2? Или какой-либо другой пункт, который вы выбрали в этом отношении?

Чтобы вернуться к математике, это разница между физическим миром и математическим понятием, таким как действительные числа (представленные в моем примере реальной линией). Теория вероятностей имеет более сложное определение вероятности, чем вы увидите в своей лекции. Чтобы количественно оценить вероятность событий и любую комбинацию их результатов, вам нужна мера вероятности. И мера Бореля и мера Лебега определены для интервала [а, Ь] на вещественной прямой , как: из этого определения вы можете увидеть , что происходит с вероятностью , если уменьшить интервал на номер (настройка a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

Суть в том, что, исходя из нашего текущего определения теории вероятностей (начиная с Колмогорова), тот факт, что событие имеет 0 вероятностей, не означает, что оно не может произойти.

И что касается вашего примера с поездом, если у вас будут бесконечно точные часы, ваш поезд никогда не прибудет точно вовремя.

— средства к смыслу
источник

Вы говорите: «Вы никогда не достигнете точки ноль», но что вы можете сказать о точке, которую я достиг в своем первом броске дротика? Пусть будет точкой, которую я ударил. Прежде чем бросить мой дротик, вы бы сказали: «Вы никогда не попадете в точку », но я просто ударил его. Что теперь?

x

$x$

x

$x$

— Geofflittle

Я думаю, что вы должны различать вопрос: какова вероятность того, что я достигну определенного момента? Если мы согласны с тем, что вы всегда бросаете дротик и он всегда попадает куда-то вдоль линии, эта вероятность равна 1. Кроме того, я не просто говорю, что вы не попадете в 0. Я говорю, что вероятность того, что вы попадете в ЛЮБУЮ точку, вы выберете ДО броска дротика - 0. Фактически вы можете выбрать любой конечный набор точек, и вероятность все равно будет 0.

— среднее значение

Что касается вашего вопроса, я понимаю вашу точку зрения, но спрашивать о вероятностях событий после их возникновения бессмысленно. Такое утверждение, как P (X = x), относится к будущей реализации случайной величины X. Так что ПОСЛЕ того, как вы достигнете какой-то точки, я не буду ничего говорить об этом. (большие заглавные буквы используются только для того, чтобы указывать на поток времени, а не на крик…)

— среднее значение

1

Распределение вероятностей должно иметь область единства. Если мера непрерывна, то она может принимать бесконечное число значений (т. Е. Бесконечное число значений вдоль оси x распределения). Единственный способ, которым общая площадь распределения вероятности может быть конечной, состоит в том, чтобы значение в каждом из бесконечного числа значений было равно нулю. Один делится на бесконечность.

В «реальной жизни» не может быть мер, принимающих бесконечное количество значений (по нескольким различным философским аргументам, которые здесь не имеют большого значения), поэтому никакая ценность не должна принимать вероятность, равную нулю. Полезный практический аргумент основан на конечной точности измерений в реальном мире. Если вы используете секундомер, который измеряет до одной десятой секунды, у поезда будет одна десятая секунды, чтобы прибыть ровно через пять минут.

— Майкл Лью
источник

3

Первый абзац здесь дает некоторую смутную интуицию, хотя дедуктивные шаги неверны. Существует множество распределений, которые допускают бесконечное количество значений, но каждое значение имеет строго положительную вероятность. Второй абзац может выиграть от переписки, в которой подчеркивается, что с каждым значением измерения связан (небольшой) интервал возможных значений базового количества интереса.

— кардинал

В чем разница между строго положительным значением (конечной величиной, деленной на бесконечность?) И нулем в этом контексте?

— Майкл Лью

2

Моя точка зрения, вероятно, неверно сделана, состоит в том, что аргумент в первом абзаце основан на ложной предпосылке, что поскольку случайная переменная может принимать бесконечно много значений, каждый отдельный результат должен иметь вероятность ноль. Это, конечно, неправильно (пуассоновский, геометрический и т. Д.); Понятие «бесконечность» здесь недостаточно сильно, нам требуется бесчисленность .

— кардинал

0

Другие люди ответили, почему вероятность равна нулю (если вы аппроксимируете время как непрерывное, которое фактически не является , но в любом случае ...), поэтому я просто кратко повторю это. Чтобы ответить на последний вопрос, заданный ОП - «как это могло произойти, если бы у него была вероятность 0?» - может произойти много и много вещей, если они имеют нулевую вероятность. Весь набор вероятности, равный нулю означает, что в пространстве возможных вещей, которые могут произойти, множество занимает места. Вот и все. Это не более значимо, чем это. $A$ $A$

Я пишу это, чтобы надеяться на что-то еще, что ФП сказал в комментариях:

Вы говорите: «Вы никогда не достигнете точки ноль», но что вы можете сказать о точке, которую я достиг в своем первом броске дротика? Позвольте 𝑥 быть точкой, которую я ударил. Прежде чем бросить мой дротик, вы бы сказали: «Вы никогда не достигнете цели», но я только что поразил это. Что теперь?

Это очень хороший вопрос, с которым я, когда начал узнавать о вероятности, боролся. Вот ответ: это не эквивалентно вопросу, который вы изначально задавали! То, что вы сделали, - это привнесите время в анализ, а это означает, что базовая структура вероятностей изменится и станет намного более сложной. Это то что тебе нужно знать. Пространство вероятностей состоит из трех вещей: базовое пространство , такое как или ; набор всех возможных результатов в этом пространстве, такой как набор всех полуоткрытых интервалов в и мера которая удовлетворяет $(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ , Ваша первоначальная задача живет в пространстве где - мера Лебега (это означает, что ). В этом пространстве вероятность того, что вы достигнете какой-либо одной точки равна нулю по причинам, рассмотренным выше - я думаю, что мы это выяснили. Но теперь, когда вы говорите такие вещи, как приведенный выше отрывок, вы определяете что-то, что называется фильтрацией , которую мы напишем как . Фильтрация в целом представляет собой набор подмножеств , удовлетворяющих для всех $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$ , В вашем случае мы можем определить фильтрацию Теперь, в этом новом подмножестве вашего пространства результатов, угадайте, что --- вы правы! Вы попали в него, и после вашего первого броска вероятность того, что вы попадете в эту точку при ограничении фильтрации равна 1.

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Поскольку вы используете технический язык, было бы лучше использовать стандартные значения для терминов. В частности, то, что вы называете «результатом», обычно называют (базовым) событием: результаты являются элементами Ваша формула для (нормализованной) меры Лебега неверна: я подозреваю, что вы имели в виду На более фундаментальном уровне неясно, почему вам нужно задействовать механизм случайных процессов, чтобы обсудить случайную переменную, моделирующую время одного события, и не очевидно, что это дает какое-либо понимание.

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$

— whuber