Ожидание отношения сумм случайных величин IID (лист Кембриджского университета)

Я готовлюсь к собеседованию, которое требует приличного знания основных вероятностей (по крайней мере, чтобы пройти само собеседование). Я работаю над листом из моих студенческих дней в качестве ревизии. В основном это было довольно просто, но я полностью озадачен вопросом 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Любая помощь будет оценена.

Изменить: вопрос:

Предположим , что являются независимыми одинаково распределенными положительными случайными величинами с и . Пусть . Покажите, что $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ когда , и когда . $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

На самом деле, в процессе набора текста я решил вторую часть.

При , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

а числитель и знаменатель вышеуказанного соотношения явно независимы, поэтому:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

и мы получаем желаемый результат.

Я все еще застрял в первой части.

probability self-study random-variable

— Spy_Lord
источник

Важно, чтобы сообщения были автономными. Пожалуйста, отредактируйте это, чтобы включить читабельную версию вопроса. Мы также просим вас указать, какие подходы вы испробовали, и какой прогресс, если таковой имеется, вы достигли: в противном случае у нас нет никаких оснований для определения уровня, на котором нужно писать ответы.

— whuber

Обновлено по запросу.

— Spy_Lord

Отличная работа! Вот предложение для первой части: когда вы добавляете

идентичных копий

вместе, похоже, что сумма будет иметь распределение, ожидание которого легко вычислить, используя только предположение iid.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

Я ценю ваше предложение написать это; Я думаю, что это будет полезным дополнением к нашему сайту.

— whuber

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

Ответы:

$n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

$X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Только на этом этапе меня осенило, что я должен сложить их вместе, чтобы получить

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

$m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

$r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

$m>n$

— тарпон
источник

Очень хорошее изложение ваших мыслей, прорабатывающих вопрос, и вы делаете шаг nk явным (мой ответ вроде бы просто говорит «явно равный»). Ура!

— Spy_Lord

Спасибо whuber за подсказку для первой части.

$nS_m/S_n$ $m<=n$

$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

и по свойству iid это равно:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— Spy_Lord
источник