относительно условной независимости и ее графического представления

При изучении выбора ковариации я однажды прочитал следующий пример. Что касается следующей модели:

Его ковариационная матрица и обратная ковариационная матрица имеют следующий вид:

Я не понимаю, почему независимость и определяется здесь обратной ковариацией?$x$$y$

Какая математическая логика лежит в основе этих отношений?

Кроме того, левый график на следующем рисунке, как утверждается, отражает отношения независимости между и ; Почему?$x$$y$

Матрицу обратной ковариации можно использовать для выработки условных дисперсий и ковариаций для многомерных гауссовских распределений. Предыдущий вопрос дает некоторые ссылки

Например, чтобы найти условную ковариацию и учетом значения , вы должны взять правый нижний угол обратной матрицы ковариацииZ X = $Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

что действительно дает ковариационную матрицу и обусловленную значением для .Z X = $Y$$Z$$X=x$

Таким же образом, чтобы найти условную ковариационную матрицу и учетом значения для , вы должны взять верхний левый угол обратной ковариационной матрицыY Z = $X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

говорю вам, что условная ковариация между и заданном равна (и что каждая из их условных дисперсий равна ). Y Z = z 0 $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Чтобы сделать вывод, что эта нулевая условная ковариация подразумевает условную независимость, вы также должны использовать тот факт, что это многовариантный гауссов (поскольку в целом нулевая ковариация не обязательно подразумевает независимость). Вы знаете это по строительству.

Возможно, вы также знаете об условной независимости от конструкции, так как вам говорят, что и являются iid, поэтому обусловлены определенным значением для , и также являются iid , Если вы знаете , нет никакой дополнительной информации от , которая позволяет вам сказать что - либо о возможных значениях .ϵ 2 Z = z X = z + ϵ 1 Y = z + ϵ 2 Z = z X $\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Это дополнение к правильному и принятому ответу. В частности, оригинальный вопрос содержит дополнительный вопрос об утверждении, которое делает книга.

Кроме того, левый график на следующем рисунке, как утверждается, отражает отношения независимости между и , почему? $X$$Y$

Это то, что рассматривается в этом ответе, и это единственное, что рассматривается в этом ответе.

Чтобы убедиться, что мы находимся на одной странице, в дальнейшем я использую это определение (неориентированного) графа условной независимости, которое соответствует (хотя бы приблизительно) марковским случайным полям:

Определение: граф условной независимости является неориентированным графом где иG = ( K , E ) K = { 1 , 2 , … , k } ( i , j ) X i$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$ не входит в множество ребер тогда и только тогда, когда . (Где обозначает вектор всех случайных величин, кроме и .) X K ∖ { i , j } X i X $X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

Из с. 60 из Whittaker, Графические модели в прикладной математической многомерной статистике (1990).

Здесь, используя аргумент, приведенный Генри в правильном, принятом ответе, мы можем установить, что и условно независимы с учетом в обозначениях .Y Z X $X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

Поскольку только три случайные величины $X, Y$ и , это означает, что и условно независимы, если даны все остальные оставшиеся случайные величины (в данном случае просто ).$Z$$X$$Y$$Z$

Используя определение условной независимости графа , приведенный выше, это означает , что все ребра в графе должны быть включены , за исключением грани между и . Действительно, это именно то, что показано на правом графике этой картины.$X$$Y$

Что касается левого графа, то неясно, не имея большего контекста, но я думаю, что идея состоит в том, чтобы просто показать, как выглядел бы график условной независимости, если бы у нас не было нулей в тех элементах обратной матрицы ковариации.

В частности, используя приведенное выше определение, мы видим, что мы можем начать с полного графа на узлах , который является левым графом на этом рисунке, а затем вывести граф условной независимости из этого первого графа, удалив все ребра, соответствующие условно независимым случайным величинам. Картина действительно сравнивает два графа в явном виде («против»), что для меня предлагает сравнение между полным графом, с которого можно начать, и графом условной независимости, с которым заканчивается, если / когда они применяют определение графа условной независимости, как дано над.$X, Y, Z$