Объяснение фильтров Калмана в моделях пространства состояний

Каковы этапы использования фильтров Калмана в моделях пространства состояний?

Я видел несколько разных формулировок, но я не уверен в деталях. Например, Cowpertwait начинается с этого набора уравнений:

θt=Gtθt-1+w

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

где и , - наши неизвестные оценки, а - наблюдаемые значения.ш т ~ N ( 0 , Ш т ) θ т у $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait определяет соответствующие распределения (априорное, вероятностное и последующее распределение соответственно):

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ θt| Dt∼N(мт,Cт $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

с

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

Кстати, означает распределение по наблюдаемым значениям вплоть до . Более простая запись - но я буду придерживаться записи Каупертвейта. θ t y t - 1 $\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

Автор также описывает прогноз для с точки зрения ожиданий:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Насколько я понимаю, это шаги, однако, пожалуйста, дайте мне знать, если есть ошибка или неточность:

1. Мы начинаем с , , то есть предполагаем значение для наших оценок .$m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Мы предсказываем значение для . Это должно быть равно есть . известен, поскольку .$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$a$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Получив наш прогноз для , мы вычисляем ошибку .$y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. Ошибка используется для вычисления апостериорного распределения , для которого требуются и . задается как взвешенная сумма предыдущего среднего значения и ошибки: . θ 1 | D 1 m 1 C 1 m 1 a 1 + A 1 e $e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. В следующей итерации мы начнем с предсказания как в шаге 1. В этом случае . Поскольку и - ожидание которое мы уже вычислили на предыдущем шаге, мы можем перейти к вычислению ошибки и среднее значение апостериорного распределения как и раньше. f 2 = $y_{2}|D_{1}$a2=G2m1m1θ1| D1e2θ2| D$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Я думаю, что вычисление апостериорного распределения - это то, что некоторые люди называют шагом обновления, а использование ожидания - это шаг прогнозирования. у т + 1 | Д $\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Для краткости я пропустил шаги для вычисления ковариационных матриц.

Я что-то пропустил? Вы знаете лучший способ объяснить это? Я думаю, что это все еще немного грязно, так что, возможно, есть более ясный подход.

Я думаю, что вы говорите правильно, и я не думаю, что это грязно. Можно сформулировать это так: сказать, что фильтр Калмана является алгоритмом исправления ошибок, который модифицирует прогнозы в свете расхождений с текущими наблюдениями. Это исправление выполняется на шаге 4) с использованием матрицы усиления .$A_t$