Рассчитать неопределенность наклона линейной регрессии на основе неопределенности данных

Как рассчитать неопределенность наклона линейной регрессии на основе неопределенности данных (возможно, в Excel / Mathematica)?

Пример: у нас есть точки данных (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), ... (8, 16), но каждое значение y имеет неопределенность 4. Большинство функций, которые я обнаружил, вычислили бы неопределенность как 0, так как точки полностью соответствуют функции y = 2x. Но, как показано на рисунке, y = x / 2 также соответствуют точкам. Это преувеличенный пример, но я надеюсь, что он показывает, что мне нужно.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Если я попытаюсь объяснить немного больше, хотя каждый пункт в примере имеет определенное значение у, мы притворяемся, что мы не знаем, правда ли это. Например, первая точка (0,0) может быть (0,6) или (0, -6) или что-то среднее между ними. Я спрашиваю, есть ли алгоритм в любой из популярных проблем, который принимает это во внимание. В этом примере точки (0,6), (1,6,5), (2,7), (3,7,5), (4,8), ... (8, 10) все еще попадают в диапазон неопределенности, таким образом, они могут быть правильными точками, и линия, соединяющая эти точки, имеет уравнение: y = x / 2 + 6, в то время как уравнение, которое мы получаем, не учитывая неопределенности, имеет уравнение: y = 2x + 0. Таким образом, неопределенность k 1,5 и n равно 6.

TL; DR: на рисунке есть линия y = 2x, рассчитанная с использованием метода наименьших квадратов, и она идеально соответствует данным. Я пытаюсь выяснить, насколько k и n в y = kx + n могут измениться, но все еще соответствуют данным, если мы знаем неопределенность в значениях y. В моем примере неопределенность k равна 1,5, а n - 6. На изображении есть «наилучшая» линия подгонки и линия, которая едва соответствует точкам.

$k$$n$$y = k x + n$$y$

$y$$100(1-\alpha)$$(k,n)$$\sum (k x_i + n - y_i)^2/\sigma_i^2 < \chi_{d,\alpha}^2$$\sigma_i$$y_i$$d$$(x,y)$$\chi_{d,\alpha}^2$$\alpha$$d$

$y_i$$y_i$$(k,n)$$204 (k-2)^2 + 72n(k-2) + 9n^2 = 152.271$

Я сделал наивную прямую выборку с этим простым кодом на Python:

import random
import numpy as np
import pylab
def uncreg(x, y, xu, yu, N=100000):
    out = np.zeros((N, 2))
    for n in xrange(N):
        tx = [s+random.uniform(-xu, xu) for s in x]
        ty = [s+random.uniform(-yu, yu) for s in y]
        a, b = np.linalg.lstsq(np.vstack([tx, np.ones(len(x))]).T, ty)[0]
        out[n, 0:2] = [a, b]
    return out
if __name__ == "__main__":
    P = uncreg(np.arange(0, 8.01), np.arange(0, 16.01, 2), 0.1, 6.)
    H, xedges, yedges = np.histogram2d(P[:, 0], P[:, 1], bins=(50, 50))
    pylab.imshow(H, interpolation='nearest', origin='low', aspect='auto',
                 extent=[xedges[0], xedges[-1], yedges[0], yedges[-1]])

и получил это:

Конечно, вы можете найти нужные Pданные или изменить распределение неопределенности.

Я был на той же охоте раньше, и я думаю, что это может быть полезным для начала. Макрофункция Excel дает линейные условия соответствия и их неопределенности на основе табличных точек и неопределенности для каждой точки в обеих ординатах. Возможно, посмотрите документ, на котором он основан, чтобы решить, хотите ли вы внедрить его в другой среде, изменить и т. Д. (Для Mathematica проделана небольшая работа.) Кажется, на поверхности есть хорошая документация, но пока нет. не открыл макрос, чтобы увидеть, насколько хорошо он аннотирован.