Имеет ли

Я столкнулся с этой плотностью на днях. Кто-то дал это имя?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Плотность в источнике бесконечна, а также имеет толстые хвосты. Я видел, что это использовалось как предварительное распределение в контексте, где многие наблюдения, как ожидали, будут маленькими, хотя большие значения ожидались также

distributions probability

— Джон Д. Кук
источник

из любопытства, у вас есть ссылка на источник, где вы видели это изначально?

— JMS

JMS: «Подковообразная оценка редких сигналов» Карвалью, Полсона и Скотта. Я видел это как препринт, но он, возможно, уже опубликован в Биометрике. Они точно не используют этот априор, но приведенная выше плотность является приближением к частному случаю их априора.

— Джон Д. Кук

Это было опубликовано: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— Фабианцы

Какой особый случай вы приближаете? Я прочитал это, но не могу связать ваше выражение с выражениями, приведенными в статье ...?

— Фабианцы

@fabians: Я имел в виду случай сигма ^ 2 = тау ^ 2 = 1 в теореме 1. Он говорит, что плотность подковы ограничена сверху и снизу кратными log (1 + с / х ^ 2). Поэтому, возможно, распределение, которое я упомянул выше, является скорее упрощением плотности подковы, чем приближением.

— Джон Д. Кук

Ответы:

Ведь даже первого момента не существует. CDF этого распределения дается

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

для и по симметрии для . Ни это, ни какое-либо из явных преобразований не кажутся мне знакомыми. (Тот факт, что мы можем получить замкнутую форму для CDF в терминах элементарных функций, уже серьезно ограничивает возможности, но несколько непонятная и сложная природа этой замкнутой формы быстро исключает стандартные распределения или преобразования степени / log / экспоненциальные / триггеры их. Арктангенс, конечно, CDF Коши (Студент $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$ ) распределение, демонстрирующее этот CDF как (по существу) возмущенную версию распределения Коши, показанную красными штрихами.)

введите описание изображения здесь

— Whuber
источник

@whuber, обратите внимание, что

, что связывает форму cdf ближе к форме pdf. Также интересно отметить, что этот pdf является асимптотическим по отношению к половине pdf стандартного Коши. Таким образом, основной причиной его использования, по-видимому, является его поведение около 0.

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— Кардинал

@whuber, хотя я думаю, что вижу, откуда вы пришли в отношении вашего заявления о том, что cdf-файлы имеют закрытые формы (подсказка: Louiville), я хотел бы предостеречь с этим замечанием. Само распределение Коши является «контрпримером» в этом отношении.

— кардинал

@cardinal Я не понимаю смысл вашего замечания о распределении Коши. Я использую только форму CDF в качестве эвристики для сужения поиска и в качестве цели для поиска. CDF немного удобнее, чем PDF, потому что легче увидеть, как он будет изменяться при преобразовании переменной. И да, отношения, которые вы отметили, ясны, но я решил написать CDF в этой форме из-за присутствия арктангенса в другом термине (который предполагает замену x = tan (u)).

— whuber

@whuber, ну, возможно, мне лучше попросить разъяснений, чем предположить. Каково было ваше мнение относительно вашего комментария о том, что закрытая форма cdf сильно ограничивает возможности?

— кардинал

@cardinal Я выполняю широкий поиск в смысле нахождения именованного (или ранее изученного) распределения

и относительно простого повторного выражения

(такого как степень или логарифм и т. д.), такого что

имеет cdf

тогда и только тогда

имеет Pdf

. Если дистрибутив был изучен ранее, то весьма вероятно, что его CDF был получен, и, если он может быть записан в закрытой форме, эта форма также была опубликована. Поэтому нам нужно только искать функциональные формы

которые выглядят как

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

Возможно нет.

Я не смог найти его в этом довольно обширном списке дистрибутивов:

Leemis and McQuestion 2008 - одномерные отношения распределения. Американский статистик 62 (1) 45:53

— Abe
источник