Какова ожидаемая стоимость модифицированного распределения Дирихле? (проблема интеграции)


14

Легко получить случайную переменную с распределением Дирихле, используя гамма-переменные с тем же параметром масштаба. Если:

XiGamma(αi,β)

Потом:

(X1jXj,,XnjXj)Dirichlet(α1,,αn)

Проблема Что происходит, если параметры шкалы не равны?

XiGamma(αi,βi)

Тогда каково распределение этой переменной?

(X1jXj,,XnjXj)?

Для меня было бы достаточно знать ожидаемую стоимость этого распределения.
Мне нужна приблизительная замкнутая алгебраическая формула, которая может быть очень быстро оценена компьютером.
Допустим, достаточно приближения с точностью до 0,01.
Вы можете предположить, что:

αi,βiN

Примечание Короче говоря, задача состоит в том, чтобы найти приближение этого интеграла:

f(α,β)=R+nx1jxjjβjαjΓ(αj)xjαj1eβjxjdx1dxn


1
@ Лукаш Можете ли вы сказать что-нибудь еще о параметрах , α i и β i ? Можно получить точные выражения для Σ J X J и тем самым приблизить ожидание отношений, но при определенных комбинациях параметров можно использовать Normal или приближение с перевалом меньше работы. Я не думаю, что будет универсальный метод приближения, поэтому дополнительные ограничения приветствуются. nαiβijXj
whuber

и Σ J X J коррелируютпоэтому мы должны приблизить саму интеграл. α я часто небольшое количествокак 1 или 2а иногда как большойкак 10000. Аналогично WIH β я , но это, как правило10 раз большечем α я . X1jXjαiβiαi
Лукаш Лью

Проблема с малым . Если все α i большие, то хорошее приближение всего интеграла: α 1 / β 1αiαiα1/β1jαj/βj
Лукаш Лью

@ Лукаш Если вам нужно оценить выражение ожидания, зачем вам алгебраическая формула? Я подумываю применить некоторый числовой трюк, чтобы получить ожидания, но мне нужна обратная связь :)
deps_stats

Мне нужно оценивать это много раз в моей программе. Это должно быть очень быстро, то есть без петель и желательно не слишком много делений.
Лукаш Лью

Ответы:


2

Просто начальное замечание: если вам нужна скорость вычислений, вам обычно приходится жертвовать точностью. "Больше точности" = "Больше времени" в общем. В любом случае, здесь приближение второго порядка, должно улучшиться по сравнению с «грубым» приближением, которое вы предложили в своем комментарии выше:

E(XjiXi)E[Xj]E[iXi]cov[iXi,Xj]E[iXi]2+E[Xj]E[iXi]3Var[iXi]
=αjiβjβiαi×[11(iβjβiαi)+1(iαiβi)2(iαiβi2)]

РЕДАКТИРОВАТЬ Объяснение для вышеупомянутого расширения было запрошено. Краткий ответ - Википедия . Длинный ответ дан ниже.

f(x,y)=xyfXE(X)YE(Y)

2fx2=0
2fxy=1y2
2fy2=2xy3

И поэтому ряд Тейлора до второго порядка определяется как:

xyμxμy+12(1μy22(xμx)(yμy)+2μxμy3(yμy)2)

Taking expectations yields:

E[xy]μxμy1μy2E[(xμx)(yμy)]+μxμy3E[(yμy)2]

Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)


This looks like exactly what I need. Can you explain how you got this expansion? I tried in a lot of ways and was unable to do that ...
Łukasz Lew
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.