Пример строгого неравенства фон Неймана

Пусть обозначает байесовский риск оценки относительно априора , пусть обозначает множество всех априоров в пространстве параметров , а обозначает множество все (возможно, рандомизированные) правила принятия решений.δ π Π Θ $r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

Статистическая интерпретация минимаксного неравенства Джона фон Неймана гласит, что

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

со строгим равенством, гарантированным для некоторых $\delta'$ и $\pi'$ когда $\Theta$ и $\Delta$ оба конечны.

Может ли кто-нибудь привести конкретный пример, где неравенство строгое?

Пример строгого неравенства фон Неймана имеет место, когда функция риска удовлетворяет следующим условиям для некоторых значений (где первое значение «низкое», а второе «высокое»):$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

Первое условие говорит, что независимо от предыдущего всегда существует решающее правило с низким риском , которое дает . Второе условие гласит, что независимо от правила принятия решения всегда есть некоторый априор, дающий высокий риск , который дает .$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Еще один способ изложения этой ситуации заключается в том, что не существует правила принятия решений (выбранного перед просмотром предыдущего), которое гарантирует низкий риск для каждого предшествующего (иногда это будет иметь высокий риск), но для каждого предшествующего существует некоторое правило принятия решения (выбранное после просмотра априори), что гарантирует низкий риск. Другими словами, для того, чтобы ограничить риск, мы должны адаптировать наше правило принятия решений к предыдущему .

---

Пример: простой пример ситуации такого рода возникает, когда у вас есть пара допустимых приоров и пара допустимых правил принятия решений с матрицей риска, подобной этой:$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

В этом случае не существует правила принятия решений, гарантирующего низкий риск для обоих приоритетов, но для каждого предшествующего решения существует правило принятия решений с низким уровнем риска. Эта ситуация удовлетворяет указанным выше условиям, что дает строгое неравенство в неравенстве фон Неймана.