сумма нецентральных случайных величин хи-квадрат

21

Мне нужно найти распределение случайной величины где и все независимы. Я знаю, что можно сначала найти произведение всех функций, генерирующих моменты для s, а затем преобразовать обратно, чтобы получить распределениеОднако мне интересно, существует ли общая форма для как в случае с Гауссом: мы знаем, что сумма независимых гауссов по-прежнему является гауссовой, и поэтому нам нужно знать только суммированное среднее и суммированную дисперсию.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

Как насчет всех ? Приведет ли это условие к общему решению? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— западня
источник

1

Глядя на первый абзац здесь , ясно, что конечное условие дает масштабированный нецентральный хи-квадрат (разделите на (масштабный коэффициент, который вы берете во фронт) и сделайте в ). Более общая форма, с которой вы начали, выглядит как линейная комбинация или средневзвешенная шкала, с коэффициентами а не с простой суммой масштабированных квадратов ... и я считаю, что в общем случае не будет требуемого распределения.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b

В зависимости от того, для чего это нужно, в определенных случаях вы можете выполнять числовую свертку или моделирование.

— Glen_b

Это обобщается распределением «взвешенной суммы лог-хи-квадратов к власти». Мой пакет R sadistsпредоставляет приблизительные функции 'dpqr' для ; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Как отметил Glen_b в комментариях, если все различия одинаковы, вы получите масштабированный нецентральный хи-квадрат.

Если нет, то существует понятие обобщенного распределения хи-квадрат , то есть для и фиксированногоВ этом случае, у вас есть частный случай диагональной ( ), и . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Была некоторая работа по вычислению вещей с этим распределением:

Imhof (1961) и Davies (1980) численно инвертируют характеристическую функцию.
Шейл и О'Мюрчаро (1977) записывают распределение как бесконечную сумму центральных переменных хи-квадрат.
Куонен (1999) дает седловое приближение к pdf / cdf.
Liu, Tang and Zhang (2009) аппроксимируют его нецентральным распределением хи-квадрат на основе сопоставления кумулянтов.

Вы также можете написать его как линейную комбинацию независимых нецентральных переменных хи-квадрат , в таком случае: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Кастаньо-Мартинес и Лопес-Бласкес (2005) дают расширение Лагерра для pdf / cdf.

Bausch (2013) дает более вычислительно эффективный алгоритм для линейной комбинации центральных хи-квадратов; его работа может быть распространена на нецентральные хи-квадраты, и вы можете найти некоторые интересные указатели в соответствующем разделе работы.

— Дугал
источник

2

Сравнение методов аппроксимации найдено в Duchesne et al. 2010. Вычислительная статистика и анализ данных, 54, 858–862. Авторы поддерживают пакет R CompQuadForm с реализациями.

— Каракал

-10

Это будет хи-квадрат русской степени свободы.

— Ahmed
источник

6

Я полагаю, вы упустили из виду, что может быть ненулевым. Комментарии к вопросу, а также существующий ответ являются информативными.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber