Как рассчитать дисперсию оценки OLS , условной для ?

Я знаю, что и вот как далеко я продвинулся, когда вычислил дисперсию:

\hat{β_{0}} = \bar{y} - \hat{β_{1}} \bar{x}

$\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$

\begin{aligned} V a r (\hat{β_{0}}) & = V a r (\bar{y} - \hat{β_{1}} \bar{x}) \\ = V a r ((- \bar{x}) \hat{β_{1}} + \bar{y}) \\ = V a r ((- \bar{x}) \hat{β_{1}}) + V a r (\bar{y}) \\ = (- \bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) + 0 \\ = (\bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) + 0 \\ = \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} Var(\hat{\beta_0}) &= Var(\bar{y} - \hat{\beta_1}\bar{x}) \\ &= Var((-\bar{x})\hat{\beta_1}+\bar{y}) \\ &= Var((-\bar{x})\hat{\beta_1})+Var(\bar{y}) \\ &= (-\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1}) + 0 \\ &= (\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1}) + 0 \\ &= \frac{\sigma^2 (\bar{x})^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \end{align*}$

но это далеко, как я получил. Последняя формула, которую я пытаюсь вычислить:

\begin{aligned} V a r (\hat{β_{0}}) & = \frac{σ^{2} n^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} Var(\hat{\beta_0}) &= \frac{\sigma^2 n^{-1}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \end{align*}$

Я не уверен, как получить если предположить, что моя математика верна ,

(\bar{x})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}

$(\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2$

Это правильный путь?

\begin{aligned} (\bar{x})^{2} & = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2} \\ = \frac{1}{n^{2}} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (\bar{x})^2 &= \left(\frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2 \\ &= \frac{1}{n^2} \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2 \end{align}$

Я уверен, что это просто, поэтому ответ может немного подождать, если у кого-то есть подсказка, чтобы подтолкнуть меня в правильном направлении.

regression self-study

— Монтана
источник

Это не правильный путь. 4-е уравнение не выполняется. Например, при , и левый член равен нулю, а правый - . Проблема возникает из шага, где вы разделяете дисперсию (3-я строка второго уравнения). Понять, почему?

x_{1} = - 1

$x_1=−1$

x_{2} = 0

$x_2=0$

x_{3} = 1

$x_3=1$

2 / 3

$2/3$

— QuantIbex

Подсказка к точке Quantlbex: дисперсия не является линейной функцией. Это нарушает как аддитивность, так и скалярное умножение.

— Дэвид Маркс

@DavidMarx Этот шаг должен быть , я думаю, а затем, как только я и (не знаю, что для этого нужно, но я подумаю об этом больше), это должно заставить меня задуматься правильный путь, я надеюсь.

= V a r ((- \bar{x}) \hat{β_{1}} + \bar{y}) = (\bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) + \bar{y}

$=Var((-\bar{x})\hat{\beta_1}+\bar{y})=(\bar{x})^2Var(\hat{\beta_1})+\bar{y}$

\hat{β_{1}}

$\hat{\beta_1}$

\bar{y}

$\bar{y}$

— MT

Это не правильно. Подумайте об условии, необходимом для того, чтобы дисперсия суммы была равна сумме дисперсий.

— QuantIbex

Нет, является случайным, поскольку , где обозначает (случайный) шум. Но хорошо, мой предыдущий комментарий, возможно, вводил в заблуждение. Кроме того, , если и обозначают константы.

\bar{y}

$\bar{y}$

y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ϵ

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

${\rm Var}(aX + b)= a^2{\rm Var}(X)$

a

$a$

b

$b$

— QuantIbex

Ответы:

Это вопрос для самостоятельного изучения, поэтому я предоставлю подсказки, которые, надеюсь, помогут найти решение, и я отредактирую ответ, основываясь на ваших отзывах / результатах.

Оценки параметров, которые минимизируют сумму квадратов: Чтобы получить дисперсию , начните с ее выражения и подставьте выражение , а затем сделайте алгебру

\begin{aligned} {\hat{β}}_{0} & = \bar{y} - {\hat{β}}_{1} \bar{x}, \\ {\hat{β}}_{1} & = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta}_0 &= \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} , \\ \hat{\beta}_1 &= \frac{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})y_i }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } . \end{align}$

{\hat{β}}_{0}

$\hat{\beta}_0$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

V a r ({\hat{β}}_{0}) = V a r (\bar{Y} - {\hat{β}}_{1} \bar{x}) = \dots

${\rm Var}(\hat{\beta}_0) = {\rm Var} (\bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) = \ldots$

Изменить: у
нас есть Два дисперсионных члена: и и ковариационный член

\begin{aligned} V a r ({\hat{β}}_{0}) & = V a r (\bar{Y} - {\hat{β}}_{1} \bar{x}) \\ = V a r (\bar{Y}) + (\bar{x})^{2} V a r ({\hat{β}}_{1}) - 2 \bar{x} C o v (\bar{Y}, {\hat{β}}_{1}) . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Var}(\hat{\beta}_0) &= {\rm Var} (\bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) \\ &= {\rm Var} (\bar{Y}) + (\bar{x})^2 {\rm Var} (\hat{\beta}_1) - 2 \bar{x} {\rm Cov} (\bar{Y}, \hat{\beta}_1). \end{align}$

V a r (\bar{Y}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (Y_{i}) = \frac{σ^{2}}{n},

${\rm Var} (\bar{Y}) = {\rm Var} \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n Y_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^n {\rm Var} (Y_i) = \frac{\sigma^2}{n},$

\begin{aligned} V a r ({\hat{β}}_{1}) & = \frac{1}{{[\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}]}^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} V a r (Y_{i}) \\ = \frac{σ^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Var} (\hat{\beta}_1) &= \frac{ 1 }{ \left[\sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 \right]^2 } \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 {\rm Var} (Y_i) \\ &= \frac{ \sigma^2 }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } , \end{align}$

\begin{aligned} C o v (\bar{Y}, {\hat{β}}_{1}) & = C o v {\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}, \frac{\sum_{j = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Y_{j}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}} \\ = \frac{1}{n} \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} C o v {\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}, \sum_{j = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Y_{j}} \\ = \frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) \sum_{j = 1}^{n} C o v (Y_{i}, Y_{j}) \\ = \frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) σ^{2} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Cov} (\bar{Y}, \hat{\beta}_1) &= {\rm Cov} \left\{ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n Y_i, \frac{ \sum_{j = 1}^n(x_j - \bar{x})Y_j }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \right \} \\ &= \frac{1}{n} \frac{ 1 }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } {\rm Cov} \left\{ \sum_{i = 1}^n Y_i, \sum_{j = 1}^n(x_j - \bar{x})Y_j \right\} \\ &= \frac{ 1 }{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \sum_{i = 1}^n (x_j - \bar{x}) \sum_{j = 1}^n {\rm Cov}(Y_i, Y_j) \\ &= \frac{ 1 }{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \sum_{i = 1}^n (x_j - \bar{x}) \sigma^2 \\ &= 0 \end{align}$ поскольку . И с тех пор

\sum_{i = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) = 0

$\sum_{i = 1}^n (x_j - \bar{x})=0$

\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - 2 \bar{x} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} + \sum_{i = 1}^{n} {\bar{x}}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2},

$\sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i = 1}^n x_i^2 - 2 \bar{x} \sum_{i = 1}^n x_i + \sum_{i = 1}^n \bar{x}^2 = \sum_{i = 1}^n x_i^2 - n \bar{x}^2,$ у нас есть

\begin{aligned} V a r ({\hat{β}}_{0}) & = \frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} {\bar{x}}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \\ = \frac{σ^{2}}{n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} {\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} + n {\bar{x}}^{2}} \\ = \frac{σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Var}(\hat{\beta}_0) &= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{ \sigma^2 \bar{x}^2}{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \\ &= \frac{\sigma^2 }{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \left\{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 + n \bar{x}^2 \right\} \\ &= \frac{\sigma^2 \sum_{i = 1}^n x_i^2}{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 }. \end{align}$

Редактировать 2

Почему у нас ? ${\rm var} ( \sum_{i = 1}^n Y_i) = \sum_{i = 1}^n {\rm Var} (Y_i)$

Предполагаемая модель - , где являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с и . $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ $\epsilon_i$ ${\rm E}(\epsilon_i) = 0$ ${\rm var}(\epsilon_i) = \sigma^2$

Как только у нас есть образец, известны, единственными случайными терминами являются . Вспоминая, что для случайной величины и константы имеем . Таким образом, Четвёртое равенство имеет вид $X_i$ $\epsilon_i$ $Z$ $a$ ${\rm var}(a+Z) = {\rm var}(Z)$

\begin{aligned} v a r (\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}) & = v a r (\sum_{i = 1}^{n} β_{0} + β_{1} X_{i} + ϵ_{i}) \\ = v a r (\sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v (ϵ_{i}, ϵ_{j}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} c o v (ϵ_{i}, ϵ_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} v a r (ϵ_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} v a r (β_{0} + β_{1} X_{i} + ϵ_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} v a r (Y_{i}) . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm var} \left( \sum_{i = 1}^n Y_i \right) &= {\rm var} \left( \sum_{i = 1}^n \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i \right)\\ &= {\rm var} \left( \sum_{i = 1}^n \epsilon_i \right) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n {\rm cov} (\epsilon_i, \epsilon_j)\\ &= \sum_{i = 1}^n {\rm cov} (\epsilon_i, \epsilon_i) = \sum_{i = 1}^n {\rm var} (\epsilon_i)\\ &= \sum_{i = 1}^n {\rm var} (\beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i) = \sum_{i = 1}^n {\rm var} (Y_i).\\ \end{align}$

c o v (ϵ_{i}, ϵ_{j}) = 0

${\rm cov} (\epsilon_i, \epsilon_j) = 0$ для по независимости от .

i \neq j

$i \neq j$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— QuantIbex
источник

Я думаю, я понял! В книге предложены шаги, и я смог доказать каждый шаг в отдельности (я думаю). Это не так приятно, как просто сесть и вытащить это из этого шага, так как мне пришлось доказать промежуточные выводы, чтобы помочь, но я думаю, что все выглядит хорошо.

— MT

Смотрите редактирование для разработки предлагаемого подхода.

— QuantIbex

Дисперсия суммы равна сумме дисперсий на этом шаге: поскольку, поскольку независимы, это означает, что независимы как хорошо, верно?

V a r (\bar{Y}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (Y_{i})

${\rm Var} (\bar{Y}) = {\rm Var} \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n Y_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^n {\rm Var} (Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

— MT

Кроме того, вы можете выделить постоянную из ковариации на этом шаге: хотя это не в обоих элементах потому что формула для ковариации мультипликативна, верно?

\frac{1}{n} \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} C o v {\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}, \sum_{j = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Y_{j}}

$\frac{1}{n} \frac{ 1 }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } {\rm Cov} \left\{ \sum_{i = 1}^n Y_i, \sum_{j = 1}^n(x_j - \bar{x})Y_j \right\}$

— MT

@oort, в числителе у вас есть сумма терминов, которые идентичны (и равны ), поэтому числитель равен .

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

n σ^{2}

$n \sigma^2$

— QuantIbex

Я понял! Ну, с помощью. Я нашел ту часть книги, в которой приведены шаги, которые нужно пройти при формулы (к счастью, она на самом деле не работает, в противном случае я бы не захотел на самом деле сделать доказательство). Я доказал каждый отдельный шаг, и я думаю, что это сработало. $Var \left( \hat{\beta}_0 \right)$

Я использую обозначение книги: а - термин ошибки.

S S T_{x} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$SST_x = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2,$

u_{i}

$u_i$

1) Покажите, что можно записать как где и . $\hat{\beta}_1$ $\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i u_i$ $w_i = \frac{d_i}{SST_x}$ $d_i = x_i - \bar{x}$

Это было легко, потому что мы знаем, что

\begin{aligned} {\hat{β}}_{1} & = β_{1} + \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) u_{i}}{S S T_{x}} \\ = β_{1} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{d_{i}}{S S T_{x}} u_{i} \\ = β_{1} + \sum_{i = 1}^{n} w_{i} u_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta}_1 &= \beta_1 + \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) u_i}{SST_x} \\ &= \beta_1 + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{d_i}{SST_x} u_i \\ &= \beta_1 + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i u_i \end{align}$

2) Используйте часть 1 вместе с чтобы показать, что и не коррелированы, т.е. покажите, что . $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i = 0$ $\hat{\beta_1}$ $\bar{u}$ $E[(\hat{\beta_1}-\beta_1) \bar{u}] = 0$

\begin{aligned} E [(\hat{β_{1}} - β_{1}) \bar{u}] & = E [\bar{u} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} u_{i}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} E [w_{i} \bar{u} u_{i}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} E [\bar{u} u_{i}] \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} E (u_{i} \sum_{j = 1}^{n} u_{j}) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} [E (u_{i} u_{1}) + \dots + E (u_{i} u_{j}) + \dots + E (u_{i} u_{n})] \end{aligned}

$\begin{align} E[(\hat{\beta_1}-\beta_1) \bar{u}] &= E[\bar{u}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i u_i] \\ &=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n E[w_i \bar{u} u_i] \\ &=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i E[\bar{u} u_i] \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i E\left(u_i\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n u_j\right) \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \left[E\left(u_i u_1\right) +\cdots + E(u_i u_j) + \cdots+ E\left(u_i u_n \right)\right] \\ \end{align}$

и потому что iid, когда . $u$ $E(u_i u_j) = E(u_i) E(u_j)$ $j \neq i$

Когда , , поэтому имеем: $j = i$ $E(u_i u_j) = E(u_i^2)$

\begin{aligned} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} [E (u_{i}) E (u_{1}) + \dots + E (u_{i}^{2}) + \dots + E (u_{i}) E (u_{n})] \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} E (u_{i}^{2}) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} [V a r (u_{i}) + E (u_{i}) E (u_{i})] \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} σ^{2} \\ = \frac{σ^{2}}{n} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \\ = \frac{σ^{2}}{n \cdot S S T_{x}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \\ = \frac{σ^{2}}{n \cdot S S T_{x}} (0) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \left[E(u_i) E(u_1) +\cdots + E(u_i^2) + \cdots + E(u_i) E(u_n)\right] \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i E(u_i^2) \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \left[Var(u_i) + E(u_i) E(u_i)\right] \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \sigma^2 \\ &= \frac{\sigma^2}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \\ &= \frac{\sigma^2}{n \cdot SST_x}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) \\ &= \frac{\sigma^2}{n \cdot SST_x} \left(0\right) &= 0 \end{align}$

3) Покажите, что можно записать как . Это тоже казалось довольно простым: $\hat{\beta_0}$ $\hat{\beta_0} = \beta_0 + \bar{u} - \bar{x}(\hat{\beta_1} - \beta_1)$

\begin{aligned} \hat{β_{0}} & = \bar{y} - \hat{β_{1}} \bar{x} \\ = (β_{0} + β_{1} \bar{x} + \bar{u}) - \hat{β_{1}} \bar{x} \\ = β_{0} + \bar{u} - \bar{x} (\hat{β_{1}} - β_{1}) . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta_0} &= \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x} \\ &= (\beta_0 + \beta_1 \bar{x} + \bar{u}) - \hat{\beta_1} \bar{x} \\ &= \beta_0 + \bar{u} - \bar{x}(\hat{\beta_1} - \beta_1). \end{align}$

4) Используйте части 2 и 3, чтобы показать, что : $Var(\hat{\beta_0}) = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x}) ^2} {SST_x}$

\begin{aligned} V a r (\hat{β_{0}}) & = V a r (β_{0} + \bar{u} - \bar{x} (\hat{β_{1}} - β_{1})) \\ = V a r (\bar{u}) + (- \bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}} - β_{1}) \\ = \frac{σ^{2}}{n} + (\bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) \\ = \frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} . \end{aligned}

$\begin{align} Var(\hat{\beta_0}) &= Var(\beta_0 + \bar{u} - \bar{x}(\hat{\beta_1} - \beta_1)) \\ &= Var(\bar{u}) + (-\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1} - \beta_1) \\ &= \frac{\sigma^2}{n} + (\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1}) \\ &= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x}) ^2} {SST_x}. \end{align}$

Я считаю, что все это работает, потому что, поскольку мы представили, что и не коррелированы, ковариация между ними равна нулю, поэтому дисперсия суммы является суммой дисперсии. - это просто константа, поэтому она выпадает, как и позже в расчетах. $\bar{u}$ $\hat{\beta_1} - \beta_1$ $\beta_0$ $\beta_1$

5) Используйте алгебру и тот факт, что : $\frac{SST_x}{n} = \frac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$

\begin{aligned} V a r (\hat{β_{0}}) & = \frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} \\ = \frac{σ^{2} S S T_{x}}{S S T_{x} n} + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} \\ = \frac{σ^{2}}{S S T_{x}} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - (\bar{x})^{2}) + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} \\ = \frac{σ^{2} n^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{S S T_{x}} \end{aligned}

$\begin{align} Var(\hat{\beta_0}) &= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x}) ^2} {SST_x} \\ &= \frac{\sigma^2 SST_x}{SST_x n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x})^2}{SST_x} \\ &= \frac{\sigma^2}{SST_x} \left( \frac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2 \right) + \frac{\sigma^2 (\bar{x})^2}{SST_x} \\ &= \frac{\sigma^2 n^{-1} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{SST_x} \end{align}$

— Монтана
источник

Там может быть опечатка в пункте 1; Я думаю, что следует читать .

v a r (\hat{β})

${\rm var(\hat{\beta})}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— QuantIbex

Возможно, вы захотите уточнить обозначения и указать, что такое и .

u_{i}

$u_i$

{S S T}_{x}

${\rm SST}_x$

— QuantIbex

u_{i}

$u_i$ - это ошибка, а - общая сумма квадратов для (определено в редактировании).

S S T_{x}

$SST_x$

x

$x$

— MT

В пункте 1 термин отсутствует в последних двух строках.

β_{1}

$\beta_1$

— QuantIbex

В пункте 2, вы не можете взять

из ожидания, это не является постоянной величиной.

\bar{u}

$\bar{u}$

— QuantIbex