Я понял! Ну, с помощью. Я нашел ту часть книги, в которой приведены шаги, которые нужно пройти при формулы (к счастью, она на самом деле не работает, в противном случае я бы не захотел на самом деле сделать доказательство). Я доказал каждый отдельный шаг, и я думаю, что это сработало.Var(β^0)
Я использую обозначение книги:
а - термин ошибки.
SSTx=∑i=1n(xi−x¯)2,
ui
1) Покажите, что можно записать как где и .β^1β^1=β1+∑i=1nwiuiwi=diSSTxdi=xi−x¯
Это было легко, потому что мы знаем, что
β^1=β1+∑i=1n(xi−x¯)uiSSTx=β1+∑i=1ndiSSTxui=β1+∑i=1nwiui
2) Используйте часть 1 вместе с чтобы показать, что и не коррелированы, т.е. покажите, что .∑i=1nwi=0β1^u¯E[(β1^−β1)u¯]=0
E[(β1^−β1)u¯]=E[u¯∑i=1nwiui]=∑i=1nE[wiu¯ui]=∑i=1nwiE[u¯ui]=1n∑i=1nwiE(ui∑j=1nuj)=1n∑i=1nwi[E(uiu1)+⋯+E(uiuj)+⋯+E(uiun)]
и потому что iid, когда .uE(uiuj)=E(ui)E(uj)j≠i
Когда , , поэтому имеем:j=iE(uiuj)=E(u2i)
=1n∑i=1nwi[E(ui)E(u1)+⋯+E(u2i)+⋯+E(ui)E(un)]=1n∑i=1nwiE(u2i)=1n∑i=1nwi[Var(ui)+E(ui)E(ui)]=1n∑i=1nwiσ2=σ2n∑i=1nwi=σ2n⋅SSTx∑i=1n(xi−x¯)=σ2n⋅SSTx(0)=0
3) Покажите, что можно записать как . Это тоже казалось довольно простым:β0^β0^=β0+u¯−x¯(β1^−β1)
β0^=y¯−β1^x¯=(β0+β1x¯+u¯)−β1^x¯=β0+u¯−x¯(β1^−β1).
4) Используйте части 2 и 3, чтобы показать, что :
Var(β0^)=σ2n+σ2(x¯)2SSTx
Var(β0^)=Var(β0+u¯−x¯(β1^−β1))=Var(u¯)+(−x¯)2Var(β1^−β1)=σ2n+(x¯)2Var(β1^)=σ2n+σ2(x¯)2SSTx.
Я считаю, что все это работает, потому что, поскольку мы представили, что и не коррелированы, ковариация между ними равна нулю, поэтому дисперсия суммы является суммой дисперсии. - это просто константа, поэтому она выпадает, как и позже в расчетах.u¯β1^−β1β0β1
5) Используйте алгебру и тот факт, что :SSTxn=1n∑i=1nx2i−(x¯)2
Var(β0^)=σ2n+σ2(x¯)2SSTx=σ2SSTxSSTxn+σ2(x¯)2SSTx=σ2SSTx(1n∑i=1nx2i−(x¯)2)+σ2(x¯)2SSTx=σ2n−1∑i=1nx2iSSTx